[페어 트레이딩/기초편] 7. Cointegration

페어트레이딩 (Pairs Trading) – 기초(7)

Cointegration

Cointegration은 시계열 분석 (Time Series)에서 사용되는 용어로, 대부분 교재에서는 “공적분” 이라는 용어를 사용하고 있다. 잘 와 닿지 않는 번역이다. Cointegration은 두 데이터가 같은 추세를 보이면서, 같은 길을 걸어가고 있는 정도를 나타내는 말로, 페어트레이딩에서 매우 중요하게 다루고 있다.

Cointegration을 제대로 설명하려면 시계열에 대해 언급해야 하지만, 본 글에서는 난해한 접근보다는 직관적인 설명을 통해 페어트레이딩의 실무적인 부분만 간단히 살펴보고자 한다. (자세한 언급은 페어트레이딩-(II) 편에서 별도로 다루도록 한다.)

Cointegration은 “같이 움직이는 성향” 정도로 볼 수 있는데, 이것을 수치화하면 페어트레이딩에서 유용하게 사용할 수 있다. 사실 Cointegration을 의미가 있는 수치로 나타내기는 쉽지 않다. 다만, 두 종목이 Cointegration 되어있다는 전제하에, 그 공통 추세가 얼마나 차이 나는지를 수치화한다. Cointegration 되어있는 지 여부는 앞서 설명한 스프레드의 형태를 보고 판단한다. (스프레드가 한 쪽으로 치우치지 않고, 균형점을 중심으로 빈번하게 오르락내리락 하는 형태이면 Cointegration 임. 정확히는 시계열의 정상성을 판단해야 함.)

예를 들어보자. KODEX200과 KODEX레버리지는 모두 KOSPI200을 추종하도록 설계되었으므로 당연히 Cointegration 관계에 있다. (그렇다고 페어트레이딩의 대상은 아니다.) 아래 차트는 2012년 1월 한 달간 KOSPI200, KODEX200 및 KODEX레버리지의 주가 차트이다.

그림-1]은 KOSPI200과 KODEX200의 주가 차트이다. 두 차트가 거의 동일하게 움직임을 알 수 있다. 각각의 차트에 회귀직선인 추세선을 그어보자. 두 추세선이 평행한 것을 알 수 있다. 즉, 두 종목은 Cointegration 관계에 있고, 공통 추세를 가지고 있다는 것을 알 수 있다.

[그림-2]는 KOSPI200과 KODEX레버리지의 주가 차트이다. 레버리지가 KOSPI200보다 더 많이 올라간 것을 볼 수 있다. 추세선도 레버리지 쪽이 더 급하게 올라갔다. 레버리지가 KOSPI200 수익률을 2배로 따라가므로, 레버리지 추세선의 기울기가 KOSPI200 추세선의 2배가 된 것이다. 이 경우도 당연히 Cointegration 관계에 있다. 추세선의 기울기만 2배 (반대로 보면 0.5배) 차이나는 것이다. KOSPI200에 100원 투자한 것과 레버리지에 50원을 투자한 것이 수익률이 같기 때문에, 두 종목도 Cointegration 관계에 있다. 이 논리를 이용하면 페어트레이딩의 매수/매도 수량을 결정할 수 있다.

Cointegration은 일반적으로 공통 추세 모형 (Common Trend Model)으로 설명한다. 어떤 주가 데이터를 (시계열 데이터) 아래와 같이 추세 성분과 잔차 성분 (비추세 성분인 오차)으로 나눌 수 있다고 할 때,

* 주가(A) = 추세 성분(A) + 잔차 성분(A)

* 주가(B) = 추세 성분(B) + 잔차 성분(B)

두 종목의 추세 성분이 같거나, 단지 몇 배의 차이가 나는 선형 관계라면 (η 배라 하자), 두 식의 차는 다음과 같이 된다.

* 주가(A) – 주가(B) = 잔차 성분(A) – 잔차 성분(B) = 잔차

* 주가(A) – ηx주가(B) = 잔차,   (추세 성분(A) – ηx추세 성분(B) = 0 이므로)

두 주가의 차에서 추세 성분은 서로 상쇄되어 사라지고, 잔차 성분만 남는다. 즉, 두 종목을 동시에 매수, 매도하면 추세 성분이 없기 때문에 스프레드가 계속 상승하거나, 하락하는 현상 없이, 커졌다, 작아졌다만을 반복하는 것이다. 이 때 스프레드가 작아졌을 때 포지션을 구축하고  커졌을 때 포지션을 청산하면 페어트레이딩의 수익이 발생하는 것이다.

Cointegration에 대해 두서없이 설명하였는데, 요약하면 다음과 같이 정리할 수 있다. (상관 관계인 Correlation과는 다른 개념으로 정리할 수 있다.)

“두 주가의 차가 (경우에 따라서는 η배의 차) 추세성분은 상쇄되고 비추세 성분만 남는다면, 두 종목은 Cointegration 관계에 있다. 단, η은 추세선 기울기의 비율이고, 변동성을 고려한 헤지비율이다. (KODEX200 과 KODEX레버리지의 예)”

Cointegration 계수 (Cointegration Coefficient)

종목(A)와 종목(B)가 있을 때 Cointegration 계수는 다음과 같이 계산한다. 종목(B)의 Cointegration 계수는 종목(A)에 대한 종목(B)의 상대적 베타 계수이다.

, 모든 주가는 자연 로그를 씌운 주가를 사용한다. 주가가 100원 이면 로그 주가 = ln(100) = 4.61원 임.

* 위의 식은 Cointegration Coefficient (CC)를 계산하는 정확한 식은 아니다. CC를 구하는 방법은 간단치 않으므로, 여기서는 간단히 실무에 적용해 볼 수 있도록  베타 값으로 계산하였다 (아래 [주1] 참조).

[그림-3]

[그림-3]은 KOSPI200이 기준일 때 각각의 Cointegration 계수를 계산한 것이다.  KODEX200은 0.958로 1에 가까워 KOSPI200과 거의 같은 흐름을 보이고, 레버리지는 0.480으로 절반, 그리고 인버스는 -1에 가까우므로 반대의 흐름이라는 것을 보여주고 있다. 만약 KODEX200을 1 만큼 매수하고, 동시에 레버리지를 0.48 만큼 매도한다면 수익은 변동이 없을 것이다. 시장이 오르면 KODEX200에서 0.958 만큼 수익이 발생하지만, 레버리지에서는 0.48의 2배 만큼 손실이 발생하기 때문이다.

   실례로 현대제철과 두산인프라코어가 Cointegration 관계에 있고, 지금이 포지션을 구축할 시점이고 (현대제철 매수, 두산인프라코어 매도), Cointegration 계수가 0.86 이라고 가정해 보자.

* 현대제철 주가 : 110,000원 (2012년 2월 1일 종가)

* 대우인프라코어 : 20,300원

* Cointegration 계수 : 0.86

구축할 포트폴리오의 (Portfolio) 금액과 수량은 다음과 같다.

* 현대제철 110,000원 어치 매수

  두산인프라코어 110,000 * 0.86원 어치 매도 = 두산인프라코어 4.66주 매도

즉, 현대제철을 1주 매수할 때, 두산인프라코어는 약 4.66주를 매도하면 된다. 단주 매매가 안 될 경우에는 100주 매수와 466주 매도를 하면 된다. 금액으로는 현대제철을 11,000,000원어치 매수하고, 두산인프라코어는 9,459,8000원 어치 매도하면 된다. 두산인프라코어의 투자 금액 비율이 낮은 것은 두산인프라코어의 변동성이 현대제철에 비해 더 높기 때문이다.

   이상으로 Cointegration이라는 개념으로 두 종목 간 흐름의 유사성에 대해 살펴보았고, Cointegration 계수를 통해, 페어트레이딩에 필요한 매수/매도 수량을 구해보았다. 이 개념은 다음 장에 설명할 로그 스프레드의 기초가 된다. 사실 Cointegration을 사용하여 매수, 매도 수량을 결정하는 것은 새로운 논리가 아니라, CAPM에서 시장 베타를 사용한 헤지 전략이나, 변동성을 고려한 헤지의 개념과 크게 다를 바 없다. 다만, CAPM과는 달리 흐름의 유사성이나 공통 추세에 대한 개념이 포함된 것일 뿐이다.

[주 1]

Cointegration Coefficient (CC)를 추정하는 것은 매우 어렵고, 학자들에 따라 방식도 다양하다. 대표적인 것으로는, 한 시계열을 페어 측으로 회귀하도록 (Regression) 하는 방식인, Engle-Granger 방식이 있다. 이렇게 추정한 CC를 이용하여 스프레드를 계산한 후, Dicky-Fuller 검증을 통해 스프레드의 정상성을 (Stationarity) 확인하는 절차를 거친다.

여기서는 단순한 방식으로 CC 대신 베타 추정치로 사용했음을 밝힌다. 고급 편에서 언급하겠지만, 나중에는 베타 대신 알고리즘을 이용하여 정상성이 최적화되는 CC를 구해서 사용할 예정이다. 수익률 베타 대신 로그 가격에 대한 베타를 사용한 이유도 알고리즘으로 구한 CC와 값이 유사하기 때문이다.

[출처]7. Cointegration|작성자아마퀀트