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페어트레이딩 (Pairs Trading) – 고급(7)
스프레드의 정규성 검정 이전 포스트에서는 스프레드의 히스토그램을 그려서 정규분포와 모양이 유사한지를 육안으로 비교해 보았다. 이번 시간에는 육안으로 비교하는 것이 아니라 통계적 기법을 이용하여 비교해 보자. 육안 비교만으로도 충분하지만, 한 번 정도 과학적인 검증을 해 봤다는데 의미를 두면 될 것 같다.
이전 포스트에서 삼성전자 우선주와 보통주의 600일 간 데이터를 이용하여 스프레드 도수를 구해 보았다. 이 차트에 아래와 같이 표준편차, 구간 확률, 기대 도수, 도수 잔차 제곱을 추가로 계산한다. 그리고 정규성 검정을 위해 유의 수준은 5%로 정하고, 자유도와 유의 확률을 계산한다.
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* 표준편차 셀(B7) = STDEV(G11:G610)
구간 확률 : 스프레드 계급값이 정규분포 상에 분포할 확률
셀(K11) = NORMDIST(I11,$B$4,$B$7,1)
셀(K12) = NORMDIST(I12,$B$4,$B$7,1)-NORMDIST(I11,$B$4,$B$7,1)
셀(K13) = NORMDIST(I13,$B$4,$B$7,1)-NORMDIST(I12,$B$4,$B$7,1)
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셀(40) = 1-NORMDIST(I39,$B$4,$B$7,1)
기대 도수 : 정규분포 상에서 예상되는 도수
셀(L11) = $B$3*K11
셀(L12) = $B$3*K12
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도수 잔차 제곱 : 관측된 도수와 기대 도수와의 상대적 차의 제곱
셀(M11) = ((J11-L11)^2)/L11
셀(M12) = ((J12-L12)^2)/L12
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도수 잔차제곱의 합 셀(M41) = SUM(M11:M40)
자유도 = 구간수 – 2 – 1 = 27
위와 같이 각 셀을 계산한 후 관측된 스프레드 도수와 정규분포 상의 기대 도수를 그려 보면 아래 그림의 오른쪽과 같이 된다. 표본으로부터 관측된 스프레드 도수가 정규분포와 비교하여, 삼성전자 우선주와 보통주의 스프레드 모집단이 정규분포라고 말할 수 있는지를 검증하는 것이다. 두 도수 간의 차가 작을수록 두 집단은 같은 것이 된다. 그러므로 두 도수 간의 차이가 통계적으로 유의한지를 판단하면 된다. 그림에서 보면 정규분포 왼쪽 부분에서 스프레드 도수가 많이 벗어나 있는 것을 볼 수 있다. 통계학적인 결론은 “유의 확률 (p-value)이 0.18%로 유의수준인 5% 보다 작으므로 정규분포라고 할 수 없다.” 이다.
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정규분포에서 많이 벗어난 부분의 스프레드 계급값은 -3.00% ~ -3.81% 구간과, -1.39% 구간이다. 왼쪽 스프레드 차트에서 보면 대략 2009.9 ~ 2010.1 사이에 우선주가 저평가 상태로 있었기 때문인 것으로 보인다.
스프레드의 특성은 분석 기간에 따라 달라진다. 위의 예에서는 600일 간의 데이터로 분석한 결과이나, 300일 간 데이터를 사용하면 유의 확률이 26.59%로 유의 수준보다 높으므로 아래와 같이 정규분포가 된다. 300일 간의 표본도 1년 2개월 정도의 데이터이므로 그렇게 작은 것은 아니다. 그러므로 삼성전자 우선주와 보통주의 스프레드는 정규성을 만족한다고 보아도 크게 무리가 없어 보인다.
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결론적으로 삼성전자 우선주와 보통주의 경우 600일 간 (약 2년 반)의 스프레드는 정규성을 만족하지 못하지만, 최근 300일 간 (약 1년 2개월)의 스프레드는 정규성을 만족한다는 것을 알았다. 우선주의 경우 스프레드는 보통주와의 주가 비율인 괴리율과 의미가 같다. 그러므로 “장기적인 괴리율에는 정규성이 없지만 단기적인 괴리율에는 정규성이 있다.” 라고 말 할 수 있다.
이상으로 스프레드의 정규성 검정에 대해 알아보았다. 페어트레이딩에는 장기적이나 단기적이나 모두 정규성을 만족하는 페어가 당연히 좋을 것이다. 그러나 단기적인 특성이 좋다면 페어트레이딩을 하는 데 큰 무리는 없어 보인다. 만약 거꾸로 장기적인 특성은 좋으나 단기적인 특성이 좋지 않다면, 단기적인 위험이 존재하고, 스프레드가 수렴하는데 시간이 많이 걸릴 가능성이 있으므로 적합하지 않을 수도 있다.
[출처]7. 스프레드의 정규성 검정|작성자아마퀀트