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[금융수학] 16. 옵션의 감마 엑셀계산 및 공식 유도과정 (Greeks : Gamma)
금융 수학 (16)
옵션의 감마 엑셀계산 및 공식 유도과정 (Greeks : Gamma)
옵션의 감마 (Gamma)는 기초자산 가격의 변화에 따른 델타의 변화량이다. 델타는 옵션가격의 기울기로 기초자산 가격이 변함에 따라 달라진다. 기초자산 가격이 증가함에 따라 콜옵션의 델타는 증가하는데, 감마는 델타의 증가 속도를 의미한다.
아래 그림은 엑셀에서, 기초자산의 가격이 240.0 ~ 300.0 까지 변할 때, 콜옵션의 가격과 감마값을 계산해 본 것이다. 왼쪽 그림은 콜옵션의 가격 그래프이고, 오른쪽 그래프는 감마의 변화 그래프이다. 옵션이 등가격 (ATM)에 있을 때 감마값이 최대가 되고, 내가격 (ITM)이나 외가격 (OTM)으로 갈수록 감마값이 감소한다. 감마가 큰 옵션은 델타의 변화 속도가 크므로, 옵션 매수자에게는 유리하지만, 매도자에게는 불리한 측면이 있다 (주-1). 그러나 감마가 큰 옵션은 시간가치도 같이 커지므로 옵션 매수자는 큰 시간가치 감소를 지불해야 한다. 따라서 감마의 크기로 옵션 매수자와 매도자의 유.불리를 따지기는 어렵다 (옵션 시장은 마팅게일 이므로).
위 그림에 감마의 계산 공식을 표시하였다. 감마는 기초자산 가격에 대해 델타를 한번 더 미분해 준 것이므로 계산 과정이 그렇게 복잡하지는 않다. 감마는 델타와 관련이 있으므로 공식에 d1이 관련되어 있다.
엑셀에서 각 셀의 계산식은 아래와 같다.
* d1 : 셀(B8) = (LN(A8/$B$2)+($B$4+($B$5^2)/2)*$B$3)/($B$5*SQRT($B$3))
d2 : 셀(C8) = B8-$B$5*SQRT($B$3)
N[d1] : 셀(D8) = NORMSDIST(B8)
N[d2] : 셀(E8) = NORMSDIST(C8)
Call 가격 : 셀(F8) = A8*D8-$B$2*EXP(-$B$4*$B$3)*E8
감마 : 셀(G8) = EXP(-(B8^2)/2)/($B$5*A8*SQRT(2*3.1416*$B$3))
* 옵션 감마의 유도과정 (블랙숄즈 옵션공식의 미분방법 참조)
풋옵션의 감마는 풋-콜 페리티를 이용하면 콜옵션의 감마와 동일함을 알 수 있다.
주-1 : 재무관리 이의경 교수 (제3판) P525
감마는 등가격 (ATM)일 때 가장 큰 값을 가지며 ITM이나 OTM으로 갈수록 작아진다. 이러한 특성을 고려해보면 감마가 큰 옵션은 주가변화에 민감한 델타를 가지므로 옵션매입자에게는 유리하지만 옵션발행자에게는 불리하다.
