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[금융수학] 2. 블랙 숄즈 옵션공식의 유도 과정(1) – 편미분 방정식 만들기
금융수학 (2)
블랙 숄즈 옵션 공식의 유도 과정 (1) – 편미분 방정식 만들기
옵션을 대상으로 알고리즘 트레이딩을 하다 보면 옵션의 이론가 계산이나 민감도 (Greeks)등을 계산해야 할 때가 많이 있다. 물론 블랙 숄즈 공식이나 Greeks 공식들을 있는 그대로 사용하여 계산할 수도 있고, HTS 에서 제공하는 값들을 그대로 이용할 수도 있다. 그러나 이 공식들이 어떤 과정을 통해 만들어 졌는지 알고 있다면, 더 넓은 범위에서 활용이 가능할 것이고, 고급 전략을 개발하는 데도 도움이 될 것이다. 개인이 이 모든 것을 일일이 유도해 보려면 어렵기도 하지만, 시간이 많이 걸리므로 여기에 유도과정을 소개하여 참고할 수 있도록 하였다.
필자는 금융공학이 아닌 물리학을 전공한 사람으로 그 과정이 너무 궁금하여 이 책 저 책 찾아보았지만 관련된 서적을 찾기가 어려웠다. 많은 자료에서 블랙-숄즈 공식이 물리학의 열전도 방정식의 해법과 동일하다고 해서 학창시절 배웠던 열역학 책도 뒤져 보았지만 내 실력으로는 도저히 접근조차 할 수 없었다. 그러다가 우연히 Stochastic Calculus라는 책을 보게 되었고 이 책을 공부하다 보니 궁금한 것들이 하나씩 풀리게 되었다 (이 책의 내용을 충분히 이해한 건 결코 아니다).
그동안 노트해 놓은 기록을 모아서 이곳에 정리해 보려고 한다. 이 글에 관심을 갖는 독자는 거의 없을 것이나, 혹시나 필요로 하는 분들에게 참고가 될까 해서 글을 올려보기로 하였다. 그리고 현재 금융을 하고 계시는 일반인들도 “이런 복잡한 과정을 거쳐서 블랙 숄즈 공식이 탄생 하였구나” 라는 정도로 구경이라도 해 보시라고 글을 올리게 되었다.
블랙 숄즈 옵션가격 공식을 유도하기 위해서는 1 단계로 편미분 방정식을 만들어야 하고, 2 단계로 이 방정식을 풀어서 해를 구해야 한다. 해를 구하는 방법은 피셔블랙 (Fischer Black)과 마이런 숄즈 (Myron Scholes)가 1973년 논문에서 발표한 고전적 풀이 방식인 PDE (Partial Differential Equation) 방법이 있고, 현대적 풀이 과정인 SDE (Stochastic Differential Equation) 방법이 있다. 여기서는 두 방법 모두에 대한 풀이 과정을 소개해 볼 까 한다. 우선 이 포스트는 1 단계인 블랙-숄즈 편미분 방정식 모양 만들기에 대해서만 소개를 하고, 풀이 과정은 이후 3번으로 나누어 소개해 보도록 하겠다.
아래 식은 유명한 블랙 숄즈 (Black-Scholes)의 옵션가격을 결정하는 공식이다. 주식 투자를 해 본 사람이라면 누구나 한 번쯤은 접해보았을 것이다. 이 공식이 어떤 과정을 통해 만들어 졌는지 직접 유도해 보는 것이 우리의 목표이다.
위의 공식을 유도하기 위해 시작을 어디서부터 해야 할지 고민하다가 아래의 두 식에서부터 시작하기로 하였다. 아래 두 식을 이해하려면 브라운운동 (Brownian Motion)이나 위너 프로세스 (Wiener Process), 그리고 이토과정 (Ito Calculus) 등을 이해해야 하지만 여기서 다 언급할 수는 없고, 그 결과물인 아래의 식에서부터 출발해 보도록 하자.
1) 식은 위너과정 (Wiener Process 혹은 Brownian Motion) 으로 표현한 주가의 변화율이며, dt 시간 동안의 수익률로 이해할 수 있다. dt 시간 동안 주가의 수익률은, dt 시간 동안의 무위험 수익률 (u)에 변동성 (시그마)을 가진 위너과정의 합으로 표현할 수 있다. 간단히 주가의 수익률은 dt 기간 종안의 무위험 수익률과 위험에 대한 프리미엄의 합으로 생각해도 된다. dt 기간 동안 위너과정의 변화량이 감소하면 주가의 수익률은 무위험 수익률에 못 미치는 것이고, 위너과정이 증가하면 주가의 수익률은 무위험 수익률을 초과하는 것이 된다.
우리의 목표는 S를 기초자산으로 하는 파생상품의 가격인 f(S,t) 를 구하는 것이고, 이 파생상품이 옵션 이라면 그 가격은 시간 (t), 기초자산의 주가 (S), 무위험 수익률 (r), 변동성 (시그마) 그리고 옵션의 행사가격 (X)의 영향을 받아 결정될 것이다. 따라서 옵션 가격은 f(S, t, r, 시그마, X)의 함수가 될 것이다. 여기서 변수는 S와 t뿐 이므로 간단히 f(S, t)라고 쓸 수 있고, 또한 주가 S는 시간에 따라 달라지므로 t의 함수 S(t)가 된다. 그러므로 옵션 가격은 f(S(t), t)의 함수가 될 것이다.
2) 식은 임의의 Stochastic Process인 f(S(t), t) 대한 이토-더블린 (Ito-Doublin Formula) 공식으로 알려져 있다.
이제 위의 두 식을 이용하여 옵션 가격을 결정하는 모델을 만들어 보자. 1) 식과 2) 식의 미분방정식을 바로 풀어서 f 를 구하면 좋겠지만 불확실성을 가지고 있는 dW가 포함되어 있어 이 식을 바로 풀 수는 없다. 따라서 dW를 제거하는 방법을 생각해야 한다.
1. 포트폴리오 구성 (Portfolio)
기초 자산인 현물 S를 매수하고, 가격이 f 인 옵션을 매도하는 포트폴리오를 생각해 보자.
식 3)과 4)로 매수/매도 포트폴리오를 구성하면 총 포트폴리오는 식 5)와 같이 된다. 그리고 포트폴리오의 변화량은 식 6)의 첫 번째 식이 된다. 포트폴리오 P의 변화량에 식 1)과 식 2)를 대입하여 정리하면 최종적으로 6)의 세 번째 식을 얻을 수 있다. 이것은 완전히 헤지된 포트폴리오라면 dt 동안 위험을 제거할 수 있고 위너과정인 dW를 제거할 수 있다는 의미이다. 식 3)에서 매수한 기초자산 S의 단위는 나중에 언급할 옵션의 델타가 되고, 바로 델타 헤지를 한 것이다.
2. 무위험 수익률 = r 일 때 (Risk-free rate)
식 5)로 구성한 포트폴리오의 변화량은 그 포트폴리오를 무위험 수익률에 투자하여 얻은 수익과 동일해야 한다. 즉, 주식 매수, 옵션 매도라는 포트폴리오를 선택한 경우와, 그 만큼을 (예를 들면) 은행에 넣어 둔 경우와 동일해야 한다는 것이다. 이것은 차익거래이론으로, 옵션가격이 공정하게 형성되려면 차익거래가 발생하지 않는 범위 내에서 결정되어야 하기 때문이다.
식 7)은 옵션가격 f 가 적정하다면 포트폴리오의 투자 수익률과 무위험 자산에 투자한 수익률이 동일하다는 것을 의미한다 (롱-숏으로 위험이 제거되었으므로 위험에 대한 프리미엄이 없다). 식 7)에 식 6)을 대입하면 최종적으로 식 9)를 얻을 수 있다.
식 9)가 바로 우리가 얻고자 했던 블랙-숄즈 공식을 유도하기 위한 첫 단계인 편미분 방정식 만들기의 최종 결과이다. 이제 부터는 이 방정식을 단순히 수학적으로 풀어서 해를 구하기만 하면 옵션의 가격인 f 를 결정할 수 있다.
이후의 포스트에서는 수학적으로 이 방정식의 해를 구하는 과정에 대해 소개해 본다.
참고자료 : Stochastic Calculus for Finance II (Steven E. Shreve) Page 153~157
