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[금융수학] 22. 옵션의 내재변동성 (Implied Volatility)
금융 수학 (22)
옵션의 내재변동성 (Implied Volatility)
옵션의 가격은 기초자산, 변동성, 잔존기간, 행사가격, 무위험 수익률에 따라 결정된다. 이 중 변동성은 기초자산의 역사적변동성 (HV)을 이용하여, 옵션의 이론가를 산출한다. 기초자산의 HV는 보통 최근 90일 간 측정된 표준편차를 사용하는데, 이 값이 현재부터 옵션 만기까지 기초자산의 변동성을 대표한다고 보는 것은 사실상 무리가 있다. HV로 추정한 변동성도 무리가 있지만, HV가 만기까지 일정하게 유지된다고 보는 것은 더욱 더 무리가 있다. 이 부분이 블랙숄즈의 큰 단점 중 하나이다. 변동성을 확률변수로 놓으면 블랙숄즈 편미분 방정식의 해를 구하기가 어렵기 때문에, 단순화 시켜 해를 구한 것이다. 이러한 문제점 때문에 이론가와 실제가가 차이가 나고, 블랙숄즈를 사용한 전략에서도 실제 상황과 미세한 차이가 발생하게 된다.
옵션의 가격을 결정할 때 가장 문제가 되는 것은 변동성의 결정이다. 나머지 요인들은 거의 이미 결정된 것이므로, 크게 문제될 게 없다. 단, 무위험 수익률이 약간 문제가 될 수는 있다. 블랙숄즈 방정식을 만들 때 무위험 수익률을 사용하였지만, 이것은 투자자의 기회비용에 해당한다. 단지 기회비용을 보편적으로 적용하기 위해 무위험 수익률로 CD 금리를 적용한 것이다. 투자자에 따라서는 기회비용으로 채권수익률이나 시중은행 금리를 사용할 수도 있다. 그러나 기회비용 변화에 따른 옵션 가격의 변화 (로우)는 대단히 작으므로 크게 문제가 될 것은 없다.
HV를 사용한 옵션 가격은 신뢰성이 떨어지므로, 투자자들의 최근 성향이 반영된 옵션의 시장가로부터 변동성을 추출해 내면, 이것이 더 의미가 있을 수 있다. 이렇게 추출된 변동성을 내재변동성 (Implied Volatility : IV) 이라 한다. 그러나 IV도 옵션 마다 다르게 측정되기 때문에 대표성이 없다는 단점이 있다. IV의 대표성에 대해서는 다른 포스트에서 언급하기로 하고, 여기서는 IV를 추출하는 방법에 대해 살펴보기로 한다.
블랙숄즈 공식을 변동성에 대한 식으로 정리하는 것이 불가하므로, IV를 계산할 때는 수치해석을 이용한다. 가장 널리 사용되는 방법으로는 뉴턴 랩슨 (Newton Raphson) 방법이 있다. 여기서는 우선 엑셀의 추가기능인 “해 찾기” 기능으로 간단히 IV를 계산해 본다. (엑셀의 해 찾기 추가기능 포스트 참조)
아래 왼쪽 그림은 2012.5.8 행사가격이 260.0인 콜옵션의 정보이다. HTS에는 이 옵션의 시장가는 2.25이고, 내재변동성은 16.78%로 나와 있다. IV를 계산하기 위해 먼저 엑셀에 기본 정보를 계산해 본다 (가운데 그림).
셀 B2 = 261.12 : 셀 B2의 이름은 “S” 로 지정
셀 B3 = 260.0 : 셀 B3의 이름은 “X” 로 지정
셀 B4 = 3/365 (잔존기간 3일) : 셀 B4의 이름은 “T” 로 지정
셀 B5 = 0.0354*T (연간 3.54%): 셀 B5의 이름은 “Rf” 로 지정
셀 B7 = S*NORMSDIST((LN(S/X)+(Rf+(HV^2)/2)*T)/
(HV*SQRT(T)))-X*EXP(-Rf*T)*NORMSDIST((LN(S/X)+(Rf-(HV^2)/2)*T)/(HV*SQRT(T)))
셀 D2 = 2.25
셀 D3 = 10 : 내재변동성의 초기값으로 충분히 큰 임의의 값 지정, 셀 이름은 IV로 지정
셀 D4 = S*NORMSDIST((LN(S/X)+(Rf+(IV^2)/2)*T)/
(IV*SQRT(T)))-X*EXP(-Rf*T)*NORMSDIST((LN(S/X)+(Rf-(IV^2)/2)*T)/(IV*SQRT(T)))
위의 내용을 입력한 상태에서 엑셀에서 도구->해 찾기 를 선택하여, 목표 셀을 C4로 하고, 해의 조건을 지정값=2.25를 입력하고, 값을 바꿀 셀을 IV로 지정한 상태에서 실행을 누르면 IV가 계산되고, 결과가 셀 D3에 기록된다. 이렇게 계산된 IV는 17.28% 가 나왔다. HTS의 16.78%와 근사한 값이다 (정확히 일치하지 않는 이유는 HTS의 계산방식과 다르기 때문일 것이다).
알고리즘으로 내재변동성을 실시간으로 계산하기 위해서는 아래와 같이 뉴턴 랩슨 방법을 사용한다. 변동성에 따른 콜옵션의 가격을 f(v)라고 할 때, 콜옵션의 가격이 C* 가 되는 변동성 v* 를 수치해석으로 찾으면 된다. 아래 수식과 같이 f(v*) = C* 가 될 때 까지 v를 v(n+1) -> v(n) -> … -> v* 로 변화시켜 가면 된다. 실제 f(v)는 아래 그림보다는 직선에 가깝기 때문에 v를 2~3회 정도만 변화 시켜도 쉽게 v*를 찾을 수 있다.
아래는 VBA로 IV를 계산한 결과이다. f(v)를 v에 대해 미분한 값이 베가 (Vega)이므로 엑셀 시트에 베가를 미리 계산해 놓는다.
셀 D5 = S*SQRT(T/(2*3.1416))*EXP(-(((LN(S/X)+(Rf+(IV^2)/2)*T)/(IV*SQRT(T)))^2)/2)
아래의 VBA 코드를 실행 시키면 셀 D3에 IV의 결과값을 기록한다. 결과는 위에서 “해 찾기”로 구한 것과 동일하다 (해 찾기의 내부 계산도 뉴턴 랩슨 방식임).
* VBA에서 엑셀의 셀에 옵션 계산가나, 베가를 미리 계산해 놓는 것은 좋은 방법이 아니다. 여기서는 VBA 코드를 단순화시키기 위해 Cells() 함수를 이용하였다.
이번에는 뉴턴 랩슨 방식을 이용하여 1일 동안 IV의 변화를 계산해 보자. 아래 그림은 위의 VBA 코드를 반복 수행하는 방식으로 수정하여 1일 동안 기초자산과 콜옵션 가격이 변할 때 마다 IV를 계산한 것이다.
기초자산 가격이 일정하다면 변동성이 커질수록 콜옵션의 가격은 증가한다. 반대로 변동성이 작아지면 콜옵션의 가격은 감소한다. 아래의 차트는 콜옵션의 가격과 IV의 관계를 그려본 것이다. 차트는 비교가 용이하도록 표준편차로 표준화한 정규화 지수로 표현하였다.
앞에서 내재변동성이 증가할수록 콜옵션의 가격은 증가한다고 하였으나, 차트에서는 별로 상관관계가 없어 보인다 (실제로는 음의 상관관계가 나타난다). 그 이유는 기초자산의 가격이 변하고 있기 때문이다. 콜옵션 가격에 가장 큰 영향을 미치는 것은 기초자산의 가격 변화이다. 콜옵션 가격의 상당 부분은 기초자산의 변화에 따라 움직이고, 일부분은 변동성에 따라 움직인다. 이것이 합해져서 나타난 차트가 위의 그림이다.
기초자산 가격이 같다면 IV가 낮은 구간의 콜옵션 가격은 IV가 높은 구간의 콜옵션 가격보다 분명히 낮아야 한다 (시간가치는 일단 무시한다). 그러므로 IV가 낮은 지점의 콜옵션 가격은 정상보다 낮게 형성되어 있고, IV가 높은 지점에서는 높게 형성되어 있다고 볼 수 있다 (정상이란 말이 애매할 수 있다). 따라서 IV가 낮을 때는 옵션 매수가 유리하고, IV가 높을 때는 옵션 매도가 유리하다. 위 그림의 A 지점을 보면 IV가 낮다. 그러므로 이 순간의 콜옵션 가격은 정상보다 낮게 평가되어 있다고 볼 수 있다.
이 처럼 변동성은 옵션에서 대단히 중요한 위치를 차지하고 있다. 많은 트레이더들이 변동성을 보다 정확히 측정하기 위해 많은 노력을 기울이고 있다. 예를 들어, 미미한 효과이긴 하지만 선물의 이론가와 시장가로부터 시장의 기회비용을 추출해서 사용하기도 하고, 합성 옵션에서 풋-콜 페리티를 이용하여 기초자산 가격을 추정해서 사용하기도 한다. 또한, 여러 옵션에서 IV를 측정한 후 거래량 가중평균으로 IV를 조정하기도 한다. 그러나 IV의 수치 자체 보다는 IV의 변화가 더 중요하게 보인다. IV가 증가하고 있는지 감소하고 있는지의 변화를 잘 관찰하는 것이 더 중요할 것이다.
