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[금융수학] 23. 변동성 미소 (Volatility Smile)
금융 수학 (23)
변동성 미소 (Volatility Smile)
이전 포스트에서는 옵션의 시장가격을 이용하여 내재변동성 (Implied Volatility)을 구해 보았다. 그런데 행사가격이 다른 옵션들로 내재변동성을 계산해 보면 서로 다른 값들이 나온다. 또한 동일 행사가격이라도 기간을 달리하면 내재변동성이 달라진다. 이런 현상을 변동성 미소 (Volatility Smile or Skew) 현상과 변동성 기간구조 (Volatility Term Structure) 라고 한다.
아래 그림은 2012.4.27일 데이터로 행사가격별로 내재변동성을 계산해본 것이다. 데이터가 충분치 않아 전 행사가격에 대해 계산하지는 못했지만, 그 특성은 볼 수 있다. 보통의 경우 등가격 부근에서는 변동성이 작게 계산되고, 깊은 내가격이나, 외가격으로 갈수록 변동성이 커진다. 그리고 풋옵션으로 계산한 변동성이 콜옵션으로 계산한 것 보다 크다.
왜 이런 현상이 발생할까? 시장이 블랙숄즈 모형대로 움직여 준다면 어느 행사가격으로 내재변동성을 구해도 동일한 값이 나와야 한다. 그러나 실제는 그렇지 않다. 이것은 시장이 블랙숄즈를 따르지 않는다는 좋은 증거가 된다.
이번에는, 행사가격을 고정시키고 시간이 증가함에 따라 내재변동성과 시간과의 관계를 그려보면, 보통의 경우 변동성이 낮은 상태에서는 시간이 지남에 따라 변동성이 높아진다. 반대로 변동성이 높은 상태에서는 시간이 지남에 따라 변동성이 낮아진다. 이것은 장기간으로 보면 시간에 따라 변동성이 일정해지려는 성질로, 일종의 평균회귀 (Mean Reverting) 현상으로 설명한다. 이러한 현상을 변동성의 기간구조 (Volatility Term Structure)라고 한다. 이전 포스트의 내재변동성 변화는 아주 짧은 시간 동안 관찰한 것이므로 변동성의 기간구조로 설명할 수는 없다.
변동성 미소와 기간구조를 3차원으로 같이 그려보면 (Volatility Surface), 아래의 왼쪽 그림과 같이 된다. 시간을 고정시키고 행사가격을 증가시키면 내재변동성은 감소한다 (A). 변동성이 높은 지점의 행사가격을 고정시키면, 시간이 지날수록 변동성은 감소한다 (B). 변동성이 낮은 행사가격을 선택하면, 시간이 지날수록 변동성은 증가한다 (C).
이런 현상이 발생하는 원인으로 아래와 같이 몇 가지를 꼽아볼 수 있다.
1. 기초자산의 주가는 블랙숄즈에서 가정한 것처럼 일정한 변동성을 가진 기하브라운운동 (GBM)을 따르지 않는다. 시장은 때때로 급등하거나, 급락하는 현상이 있고, 급등보다는 급락하는 현상이 더 많다. 이것을 주가의 Jump 현상이라고 하는데, GBM은 Jump 현상이 없는 일정한 모형이다.
2. 위 그림의 주가 분포를 보면, 기하브라운운동 (GBM)은 (로그)정규분포 모양이지만, 실제분포는 첨도가 높고, 분포의 꼬리가 두터운 모양을 가진다. Skewness and Kurtosis 트레이딩에서 내재변동성을 이용하여 시장의 확률분포 (IV-SPD)를 실제로 관찰해보면, 첨도가 높게 나타난다. 만약 실제분포의 꼬리 부분이 얇게 나타난다면, 변동성 미소의 반대 현상이 발생할 것이다. 즉, 내가격이나 외가격의 변동성이 작게 나타날 것이다.
3. 시장이 하락하면 위험회피 투자자들로 인해 시장은 더 급락하게 되고, 변동성이 증가한다. 따라서 블랙숄즈 모형처럼 변동성을 일정하게 가정할 수 없다.
4. 헤지 투자자들이 외가격대의 풋옵션을 이용하여 헤지를 하려는 경향이 있으므로, 풋옵션 외가격의 변동성이 더 높게 나타난다.
5. 레버리지 효과로 설명이 가능하다 (아래 Reference 참조).
1987년 월가의 대공항 이전에는 행사가격별로 내재변동성이 거의 일정했다고 한다. 이것은 그 당시의 옵션시장이 정상적이지 못했던 것으로 해석한다. 지금은 변동성 Surface 현상을 지극히 정상적인 것으로 보고 있다. 행사가격 별로 변동성이 완만하게 변화하고, 기간에 따라서도 변동성이 낮으면 높게, 높으면 낮게 변화하는 것을 정상으로 보고 있다. 오히려 행사가격별로 변동성이 일정하거나, 급하게 변하면 행사가격별 차익거래 (Strike Arbitrage)가 발생하고, 기간에 따라 변동성이 반대로 움직이면 근월물-원월물간 스프레드 차익거래 (Calendar Spread Arbitrage)가 발생한다.
이전 포스트에 이어 변동성 매매 전략 (Volatility Trading)을 위한 내재변동성의 특성을 살펴보았다. 그럼 행사가격 별로 상이한 변동성을 어떻게 매매 전략에 이용할 수 있을까? 이를 위해서는 내재변동성을 대표하는 일종의 대표변동성이 필요할 수도 있다. 이 부분에 대해서는 향후 별도의 포스트에서 살펴보기로 하겠다.
Reference : http://www.columbia.edu/~mh2078/BlackScholesCtsTime.pdf
