[금융수학] 25. VKOSPI (VIX) 엑셀 계산

금융 수학 (25)

VKOSPI (VIX) 엑셀 계산

이전 포스트에서 살펴본 변동성 지수(VIX)를 엑셀에서 실제로 계산해 보자. 우리나라에서 사용하는 VKOSPI도 동일한 방식으로 계산되므로, 이 방식으로 VKOSPI를 직접 계산해서 사용할 수 있다. KRX에서 30초 마다 발표하는 VKOSPI200 지수는 향후 30일간 예상되는 변동성을 연단위로 표시한 것이다. 알고리즘이나 시스템트레이딩에서는 매초 마다 VKOSPI를 계산할 수도 있고, 30일간의 변동성이 아닌 현재의 대표 내재변동성으로의 VKOSPI 지수를 직접 계산해서 변화를 관찰할 수도 있다.

VKOSPI 계산은 크게 두 단계로 나누어진다. 첫 번째 단계에서는, 아래의 왼쪽 공식으로 현재의 대표 내재변동성을 계산한다. 이 계산에는 근월물 옵션을 이용한다. 이 단계에서 얻은 변동성은 옵션들의 대표 내재변동성이 되고, 현재 시점의 변동성이 된다. 따라서 이 자체로도 활용될 수 있다. 그 다음은 차근월물 옵션을 이용하여 동일한 방법으로 대표 내재변동성을 계산한다. 차근월물 옵션을 사용하였으므로 이것은 30일 이후 예상되는 내재변동성이 된다. 두 번째 단계에서는, 오른쪽 공식을 이용하여 현재의 내재변동성과 30일 이후의 내재변동성의 기간 가중평균값을 계산한다. 이 결과는 현재의 내재변동성과 30일 이후의 내재변동성의 평균값이므로 30일간의 예상 내재변동성이 된다. KRX에서 발표하는 VKOSPI200이 바로 이 결과 값이다.

여기서는 간단히 근월물을 사용한 현재의 대표 내재변동성만 계산해 보는 것으로 한다.

1. 아래의 왼쪽과 같이 엑셀파일을 준비한다. 아래 자료는 2012년 5월 29일 종가 기준 근월물 옵션의 가격이다. 잔존기간은 11일 거래일이고, 무위험 이자율은 3.54%를 적용해 본다. 단, 잔존기간 계산법을 위해 아래의 가격은 종가 기준이 아니고, 14:00:00 현재의 현재가라고 가정한다. 즉, 계산시점이 2012.5.29 14:00:00 이라고 가정한다.

2. 잔존기간은 초단위로 계산한다. VIX는 분단위로 계산하는데, VKOSPI는 초단위로 계산한다. 차이는 거의 없다. 1일은 86,400초 이므로, 잔존기간 11일에 86,400초를 곱한 후, 현재 시간이 14:00:00 이고 장 종료까지 1시간이 남았으므로 3,600초를 더해준다. 그리고 이 값을 연단위로 환산하기 위해 252일*86,400초로 나누어 준다.

셀(D1) = (B1 * 86400 + 3600) / (252 * 86400)

3. D 열에 C-P를 계산한 후 이 값이 가장 작은 값일 때의 행사가격을 선정한다. 그림에서는 245.00이 된다. 셀(B3)에 A20 값을 입력하고 B3 셀의 이름을 K라고 붙여 놓는다.

4. Forward Index level인 F 값을 계산한다. F 값은 풋-콜 페리티를 이용하여 C와 P를 이용하여 계산한다. 아래 그림의 식 (3)에서 C = P 인 경우, F = K가 되므로, C – P가 가장 작은 값을 이용하여 F를 계산한다. 그림에서는 행사가격이 245.00인 콜과 풋을 이용하였다. 참고로 이 지점의 C와 P를 이용하여 아래 식으로 기초자산의 가격인 S를 추정해서 여러 목적으로 사용하기도 한다.

셀(B4) = (B20 – C20) * exp(rf * T) + K   (rf는 B2, T는 D1 임)

5. F 보다 낮은 첫 번째 행사가격을 찾는다 (K0).

셀(B5) = A20

6. Q(K) 값을 결정한다. 행사가격이 245.00 보다 작은 경우는 풋옵션을 이용하고, 행사가격이 245.00보다 큰 경우는 콜옵션을 이용한다. 행사가격이 245.00인 경우는 콜옵션과 풋옵션의 평균값으로 한다. 그리고 각 옵션의 가격은 현재가 대신에 매도 호가와 매수 호가의 평균값을 사용한다. 이것은 매수/매도 호가가 많이 벌어진 경우를 대비하기 위한 것이다. 여기서는 그냥 현재가를 기준으로 계산하였다.

셀(E8) = IF(A8=K, (B8+C8)/2, IF(A8<K, C8, B8))

셀(E9) = IF(A9=K, (B9+C9)/2, IF(A9<K, C9, B9))

:

7. 위 공식의 시그마 기호안의 값을 계산한다. 단, exp(rT)는 나중에 계산한다.

셀(F8) = 2.5*E8/(A8^2)

셀(F9) = 2.5*E9/(A9^2)

:

셀(F38) = sum(F8:F37)

8. 위 공식의 최종값을 계산한다.

셀(E5) = 2 * exp(rf * T) * F38/T – (((F/B5) – 1)^2) / T

9. 공식으로 계산한 최종값은 분산이므로, 이 값에 루트를 씌워 표준편차로 표시한다.

셀(F5) = sqrt(E5)

이렇게 계산된 값인 21.08%는 14:00:00 현재 시점에서 옵션 가격으로부터 추출한 현재의 대표 내재변동성이 된다. 참고로 KRX에서 발표한 2012.5.29일 종가 기준 30일간의 예상 VKOSPI200은 21.61% 이다.

30일간의 VKOSPI를 구하려면 차근월물 옵션에 대해 위의 과정으로 30일 후의 내재변동성을 한번 더 계산하고, 맨 위의 오른쪽 공식을 이용하여 기간 가중평균으로 VKOSPI를 계산하면 된다.

참고로 아래 그림은 콜과 풋의 개별 내재변동성과 VKOSPI (VIX)의 일일 변화를 관찰한 것이다. 보통의 경우 풋옵션의 내재변동성은 높고, 콜옵션의 내재변동성은 낮다. VKOSPI는 콜과 풋들의 개별 옵션으로 구한 내재변동성들의 평균적인 값을 가진다. 그림에서도 VKOSPI는 콜과 풋의 중간쯤에 위치하는 것을 볼 수 있다.

[출처]25. VKOSPI (VIX) 엑셀 계산|작성자아마퀀트