[페어 트레이딩/고급편] 29. 직교 (거리) 회귀에 의한 헤지 비율 산출

페어 트레이딩 (Pairs Trading) – 추가편 (13)
직교 (거리) 회귀에 의한 헤지 비율 산출

지난 시간에는 단순회귀로 페어 트레이딩의 헤지 비율을 산출해 보았고, 문제점에 대해 살펴보았다. 그리고 단순회귀 방법이 페어 트레이딩에는 적합하지 않다는 것에 대해 알아보았다. 단순회귀는 한 쪽이 기준이 될 때 다른 한 쪽의 상대적 변화를 추정하는 방식이다. 기준이 되는 쪽에는 오차 성분이 없고, 다른 한 쪽에만 오차가 존재한다는 것을 가정한다. 따라서 어느 쪽을 기준으로 잡느냐에 따라 헤지 비율이 달라질 수밖에 없다.

이번 시간에는 직교회귀 (Orthogonal Regression)에 의한 방법으로 헤지 비율을 산출해 본다. 직교회귀의 아이디어는 X, Y가 서로 대등한 입장에서 상호간의 상대적 변화를 추정한다. 따라서 어는 한 쪽만 기준이 될 수는 없고, X, Y 모두 오차 성분을 갖는다. 즉, X, Y가 모두 확률변수 (Stochastic Variables)이다. 이렇게 하면 어느 쪽을 기준으로 잡아도 헤지 비율은 동일해 진다 (상대적 변화이므로 역수 관계임).

직교회귀를 도식화하면 위 그림과 같다. 실측치인 (xi, yi)와 회귀직선간의 수직 거리 (di)의 총 합을 최소로 만드는 α와 β를 추정한다. 수직 거리는 X, Y 좌표를 바꿔도 변하지 않기 때문에 β값이 일관되게 계산된다 (롱-숏과 숏-롱의 헤지 비율이 역수 관계임). β를 산출하는 공식은 위와 같이 두 개의 근이 나온다. 하나는 거리의 총 합이 최소가 되는 조건이고, 나머지 하나는 최대가 되는 조건이다. 최소인 조건을 선택하려면 분자의 루트 앞의 부호를 X와 Y의 공분산의 부호와 같은 것을 선택하면 된다. 즉, X, Y의 공분산의 부호가 “+” 이면 분자의 부호도 “+”로 계산한다. 페어 트레이딩에서는 아마도 “+”가 사용될 것이다.

아래 그림은 이전 포스트와 동일하게 LG화학과 OCI의 관계를 분석한 것이다. 단순회귀로 β를 계산했을 때는 1 : -0.49 가 나왔고, 반대로 계산했을 때는 1 : -1.23이 나왔었다. 직교회귀로 계산하면 LG화학 : OCI = 1 : -0.56 이 나온다. 이것은 LG화학을 1 단위 매수할 때 OCI를 0.56 단위 매도하라는 의미이다.

아래 그림은 반대로 계산한 결과이다. OCI : LG 화학 = 1 : -1.78 이 나온다. 1.78 은 0.56의 역수이다. 이것은 OCI를 1 단위 매수할 때 LG 화학은 1.78 단위 매도하라는 의미로, LG화학을 1 단위로 환산하면 OCI는 0.56 단위가 되므로 앞, 뒤가 잘 맞는다. 따라서 페어 트레이딩에서는 단순회귀보다는 직교회귀가 더 타당하다는 것을 알 수 있다.

직교 (거리) 회귀 모형의 β산출 공식 유도 과정

직교회귀의 β는 단순회귀의 계산 방법과 동일하게 계산할 수 있다. 단, 목적함수인 거리 함수에 X측 오차와 Y측 오차가 모두 포함되어 있다. 이전 포스트와 동일하게 라그랑지 승수법 (Lagrange Multipliers)을 이용하면 아래 절차와 같다 (이전 포스트와 절차가 동일하므로 상세 설명은 생략함).

이번 시간에는 직교회귀 (수직 거리) 방법에 대해 살펴보았고, 단순회귀보다는 페어 트레이딩에 더 적합하다는 것에 대해 알아보았다. 그러나 이 방법은 β식이 너무 복잡해서 β의 의미가 직관적으로 잘 와 닿지 않는다. 단순회귀의 경우 β는 x, y의 변동성 비율과 상관계수의 곱에 비례하므로. 상관계수가 높을수록 헤지 비율은 변동성 비율에 가까워진다는 것을 알 수 있다. 그러나 직교회귀의 경우는 β의 의미가 잘 잡히질 않는다 (문제될 건 없지만 개운하지가 않음).

다음 시간에는 수직 거리가 아닌 수직 거리를 대각선으로 하는 사각형의 면적을 최소로 만드는 β값에 대해 알아보기로 한다.

[출처]29. 직교 (거리) 회귀에 의한 헤지 비율 산출|작성자아마퀀트