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금융 수학 (39)
ATM Straddle의 특성 분석
이번 시간에는 변동성 거래 (Volatility Trading) 중 옵션을 이용한 ATM Straddle 전략의 특성에 대해 살펴보기로 한다. ATM Straddle 은 행사가격이 등가격 (At-the-money)으로 동일하고 (S = X), 만기가 동일한 콜옵션과 풋옵션을 동시에 매수한 전략으로 변동성을 매수한 형태의 전략이다 (C + P).
ATM Straddle 의 특성은 아래 그림으로 간단히 살펴볼 수 있다. 좌측 그림은 C + P 의 손익구조이다. S 가 크게 오르거나 크게 내리면 수익이 발생한다. C, P 모두 등가격 옵션이므로 합성 델타는 0 에 가깝다. 우측 그림에서는 ATM 지점의 합성 감마와 합성 세타의 절대값이 최대가 됨을 알 수 있다 (부호가 반대임). 즉, ATM Straddle은 최대의 감마 수익을 얻는 대신, 최대의 시간가치 (세타)를 지불하는 구조이다.
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Black-Scholes 공식을 이용해서 위의 특징을 수학적으로 확인해 보자. 식 1)은 콜옵션에 대한 Black-Scholes 편미분 방정식이고, 식 2)는 Greeks를 사용하여 식 1)을 다시 표현한 것이다. 식 3)은 풋옵션에 대한 표현이다 (풋옵션과 콜옵션의 표현은 동일하지만 경계조건이 다르므로 해가 다르게 나온다 : 맨 아래 [참고사항] 참조). 식 4)는 ATM Straddle인 C + P 포트폴리오의 표현식이고, 합성 Greeks로 표현하면 식 5)가 된다. 식 5)에서 합성 델타는 0에 가까우므로 ATM Straddle은 델타 중립 (Delta neutral) 포지션이 되고, V의 손익구조는 세타 (θ)와 감마 (Γ)의 변화로 설명할 수 있다.
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식 5)에서 C + P 포트폴리오인 V의 손익은 시간가치 항만큼 감소하고, 변동성 항만큼 증가한다. ATM에서 시간가치와 변동성 항은 모두 최대가 된다 (부호는 반대).
ATM Straddle의 합성 델타 (Δ)
ATM Straddle의 합성 델타는 0 에 가까우나, 정확히 0 은 아니다. 그 이유는 ATM 콜옵션의 델타가 정확히 +0.5 가 아니기 때문이다. 콜옵션의 델타는 N[d1] 이고, 풋옵션의 델타는 N[d1] – 1 이다. 따라서 합성 델타는 식 6)과 같이 2*N[d1] – 1 이 된다. 합성 델타가 0 이 되려면 N[d1] = 0.5 가 되어야 하지만 N[d1] > 0.5 이기 때문에 합성 델타도 0 보다 큰 값이 된다.
합성 델타의 근사치를 계산하기위해, S = X, rt = 0 인 경우를 생각한다. 식 7)에 이 조건을 대입하면 식 9)와 같이 N[d1]의 근사치를 계산할 수 있고, 식 11)과 같이 합성 델타 (Δ)의 근사치를 얻을 수 있다. 앞에서 언급한대로 합성 델타는 0 보다 약간 큰 값이 나온다. 변동성이 20% (σ = 0.2) 이고, 잔존기간이 20일 (t = 20 / 252 = 0.079) 이라면 합성 델타는 0.022 정도로 작은 값이 나온다.
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ATM Straddle의 합성 감마 (Γ)
콜옵션의 감마와 풋옵션의 감마는 동일하므로 ATM Straddle의 합성 감마는 식 12) 가 된다. ATM 옵션에 대한 d1 은 0 에 가까우므로, 식 12)의 exp() 항은 1 에 가깝게 되고, 합성 감마는 근사적으로 식 14)가 된다. 식 14)에서 델타 (Δ)와 감마 (Γ)는 서로 반비례 관계에 있으므로, Δ가 0 에 가까울수록 Γ가 커진다는 것을 알 수 있다. 즉, 델타-중립 포지션인 경우 감마가 최대가 된다 (위의 그림으로 확인한 것과 동일함).
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ATM Straddle의 세타 (θ)
콜옵션의 세타는 식 15) 이고, 풋옵션의 세타는 식 16) 이다. 그리고 ATM Straddle의 합성 세타는 식 18)로 쓸 수 있다. ATM 위치에서는 식 17)의 관계가 (근사적으로) 성립하므로, 식 18)에 식 17)의 관계를 대입하면, 합성 세타는 식 19)로 쓸 수 있다. 식 19)에서 합성 델타는 0 에 가까우므로 ATM Straddle의 합성 세타는 근사적으로 식 20)으로 표현할 수 있다.
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식 20)에서 세타는 식 5)의 변동성 항과 같은 표현이다 (부호는 반대). 이 것은 델타-중립 옵션에서는 세타를 감마의 대용치로 쓸 수도 있다는 것을 의미한다. 여기서 식 20)의 우변 항에 포함된 σ는 내재변동성 (Implied Vol.)을 의미하고, 식 5)의 σ는 실현변동성 (Realized Vol.)을 의미하는 것으로 해석한다 (뒤에 설명 있음).
ATM Straddle의 손익구조
ATM Straddle 포트폴리오 (V)를 테일러 급수로 표현하면 식 21)로 쓸 수 있다. 단, V(S, t) 이고 (σ는 일정), S에 대한 2차식 까지만 고려한다. 식 21)에서 합성 델타는 0 이므로, V의 변화량은 식 22)가 된다 (여기서 Δ는 합성 델타가 아니라, 변화량 (difference)을 의미한다).
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식 22)는 ATM Straddle (V)의 변화량이고, 시간 (Δt) 이 지나면서 세타 (θ) 만큼의 시간가치가 감소하고, 주가가 변할수록 (ΔS) 감마 (Γ)가 관련된 양만큼 증가한다. 이 변화를 그림으로 표현하면 아래와 같다.
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현재 시점 (t0)의 주가가 S 이면, Δt 시간 이후의 주가는 [그림-A]와 같이 표현할 수 있다 (기하브라운 운동 (GBM) 참조). 따라서 Δt 시간 이후의 주가의 변화인 ΔS 는 식 23)이 된다. 식 23)을 식 22)에 대입하면 식 25)를 얻을 수 있다. 식 25)의 세타는 식 20)을 이용하여 감마로 표현할 수 있다. 그런데 세타는 t0 시점의 변동성 (t0 시점의 내재변동성)의 영향만큼 감소한다. 즉, 식 20)의 σ 는 내재변동성이 된다. 그리고 t1 시점의 ΔS 는 t1 시점의 실제 변동성 (실현변동성)의 영향을 받는다. 즉 식 25)의 우변에 있는 σ 는 실현변동성이 된다. 따라서 식 25)에 식 20)을 대입하면 식 26)을 얻을 수 있고, 식 26)을 정리하면 식 27)이 된다. 식 27)은 이전 시간에 살펴본 분산스왑 (Variance Swap)과 유사한 표현이다. 즉, ATM Straddle은 분산스왑과 동일한 형태의 변동성 거래임을 알 수 있다. 물론 ATM Straddle은 Static hedge 이므로 S의 변화가 크지 않은 짧은 시간 동안에만 성립하는 식이다.
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여기까지 ATM Straddle의 합성 델타, 합성 감마 그리고 합성 세타의 특성을 살펴보았고, ATM Straddle이 변동성 거래가 됨을 수식으로 확인해 보았다. 물론, 맨 위의 그림 하나로 거의 모든 것을 설명할 수 있지만, 수식을 통해 좀 더 자세히 확인해 보았다. 다음 시간에는 델타-헤징 옵션 전략에 대한 특성을 살펴보기로 한다.
[참고사항] 식 3)의 증명
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[출처]39. ATM Straddle의 특성 분석|작성자아마퀀트