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[알고리즘 트레이딩/전략편] 14. 옵션의 행사가격 차익거래 : Strike Arbitrage (3)
알고리즘 트레이딩 (Algorithmic Trading) – 전략 (14)
옵션의 행사가격 차익거래 : Strike Arbitrage (3)
지난 시간에는 옵션의 각 행사가격별로 적정시장가 궤도를 육안으로 확인해서, 장중에 차익거래가 가능한 괴리가 존재하는지 여부를 확인해 보았다. 이번 시간에는 지난 시간에 수집한 로그 파일을 분석하여 옵션의 시장가 괴리 여부를 자세히 분석해 보도록 한다.
로그 파일은 등가격 (ATM), 등가격의 부근 (Near the Money), 그리고 내가격 (In the Money) 대로 나누어서 분석해 보고, 각각의 특징에 대해 살펴본다.
1. 등가격 (At the Money)
지난 시간에 육안으로도 보았듯이 등가격대에서는 괴리가 거의 발생하지 않는다. 아래 그림은 기초자산 가격이 행사가격 X1 부근에 있을 때 (X1-2X2+X3) 와 (2X1-3X2+X4) 포지션의 합성 가격을 그려 본 것이다. 합성 가격이 0 보다 작거나 같으면 차익거래 조건이 된다. 합성 가격이 포지션 구축을 위한 프리미엄이 되고, 이 프리미엄이 적정한 수준이라면 만기 시 이 포지션을 통한 기대 손익의 현재가치와 일치하게 된다.
위의 왼쪽 그림은 로그 파일에서 1일 동안의 등가격의 X1-2X2+X3 포지션을 계산하여 그래프로 그린 것이다. 1일 동안 프리미엄의 평균은 +0.40 이었다. 이것은 시장 참여자들이 0.40의 프리미엄을 지불하고, 만기 시, 지불한 0.40의 프리미엄을 포기하거나, (ST – 프리미엄)의 수익을 내는 쪽에 베팅을 한 것이다. 만기 시 얻을 수 있는 기대 손익은 0.4*exp(rt) 된다 (주-1 참조). 만약 특정 시점에 프리미엄이 0보다 작거나 같은 순간이 발생하고, 이 순간을 포착하여 포지션을 구축한다면 프리미엄을 지불하지 않은 상태에서 만기 시 0.4*exp(rt)를 기대할 수 있는 상태가 된다. 프리미엄을 지불하지 않았으므로 만기 시 손실은 없다. 즉, 완전 무위험 차익거래가 실현되는 것이다.
그러나 위의 그림에서 보면 프리미엄이 0.32 이하로 내려간 순간은 없었다. 즉, 등가격대에서 무위험 차익거래 조건은 발생하지 않았다. 실제로 등가격대에서는 거래량이 풍부하여 옵션의 가격이 효율적으로 형성되기 때문에 무위험 차익거래 기회가 존재하기 어렵다. 오른쪽 그림의 2X1-3X2+X4 포지션의 경우도 마찬가지다. 이 경우의 평균 프리미엄은 1.03 이었고, 1일 중 최소 프리미엄은 0.86 이었다. 또한, 등가격대에서는 기초자산 가격에 민감하게 움직이므로, 프리미엄 스프레드가 기초자산 가격에 영향을 받아 약간의 추세가 형성되는 것을 볼 수 있다 (프리미엄 스프레드는 합성 가격을 의미한다).
2. 얕은 내가격 (Near the Money ~ In the Money)
아래 그림은 기초자산 가격이 약 270.0 일 때, 행사가격이 257 ~ 265.5 영역의 얕은 내가격대의 프리미엄 스프레드를 그린 것이다. 왼쪽 그림은 X1-2X2+X3 포지션의 프리미엄 스프레드 이다. 평균 스프레드는 0.19이고 최소 스프레드는 -0.15이다. 그림에서 보이듯 (빨간색 원) 여러 곳에서 무위험 차익거래 기회가 발견되고 있다. 만약 -0.15 지점 (09:17:15 부근)에서 이 포지션을 구축한다면 0.15의 프리미엄을 받게 된다. 반면에 만기 시 얻을 수 있는 기대 수익은 0.19*exp(rt)가 된다. 만기 시 기초자산의 가격과 무관하게 최소 0.15의 수익을 얻을 수 있는 것이다. 그리고 내가격에 비해 기초자산 가격에 대한 스프레드의 추세가 더 안정적인 모습을 보이고 있다. 오른쪽 그림의 포지션도 마찬가지이다.
그러나 위 그림은 현재가를 기준으로 작성한 스프레드이고, 차익거래가 가능한 지점의 호가창 (Order Book) 상황은 로그 파일에 저장하지 못한 관계로 이 조건으로 포지션 진입이 가능했는지는 알 수가 없다. 아마도 거래량이 풍부하지 못해 슬리피지 (Bid-Ask Spread) 효과로 인해 이 조건으로 진입하기는 어려웠을 것으로 생각된다. 무위험 차익거래 조건은 쉽게 발생하지 않기 때문이다.
3. 깊은 내가격 (In the Money)
더 깊은 내가격대로 가면 외형상으로는 차익거래 기회가 더 많은 것으로 나타난다. 아예 프리미엄의 평균값이 음수 (-)로 측정되었다. 이것은 거래량이 거의 없고, 매수 호가와 매도 호가의 차이가 크게 벌어져 있는 상태이기 때문이다.
얕은 내가격과 깊은 내가격에서 발생하는 차익거래 기회에 대해서는, 로그 파일에 호가창에 대한 정보가 없어 쉽게 결론을 낼 수는 없지만, 아마도 호가창의 상황은 아래 그림의 왼쪽과 유사했을 것으로 추측된다. 예를 들어 현재가는 9.40 이지만, 이 순간에 포지션 구축을 위해 매수하려면 9.50에 매수해야 할 것이다. 그러면 위의 프리미엄 스프레드는 달라지게 된다.
이런 경우 만약 X1의 호가창이 아래와 같고, X2와 X3는 유동성이 확보된 상태라고 가정해 보자. 그러면 X1=9.35 인 상태에서 차익거래 조건이 성립한다면, X1=9.35 에 매수주문을 넣어놓고, X2와 X3를 계속 감사한다. 만약 차익거래 조건이 성립하는 상태에서 X1의 주문이 체결된다면, 즉시 X2와 X3를 매도/매수 하면 차익거래 조건의 진입이 가능할 것이다. 만약 감시도중 차익거래 조건이 깨진다면 X1=9.35의 주문은 즉시 취소한다. 이런 식으로 호가창을 관리해 보면 차익거래 진입이 가능할 수도 있다. 이 경우에는 매수주문 -> 취소주문 -> 매수주문이 빈번히 발생하므로 알고리즘이 정교할 필요가 있다.
위의 두 포지션은 사실 Butterfly 라는 합성 포지션이었고, 합성 프리미엄은 위의 오른쪽 그림에 나타난 손익 그래프의 프리미엄이 된다. 만기 시 기초자산 가격이 손익 그래프의 프리미엄 보다 큰 부분에 위치하면 (ST-프리미엄)만큼의 수익을 보게 되고, 그 이외에 위치하면 프리미엄만큼의 손실을 보는 구조이다. 이때 기대 손익의 현재가치가 프리미엄이 된다. 알고리즘으로 전 행사가격대를 모니터할 때 위의 포지션 이외에도 다양한 포지션에 대한 모니터를 할 수 있다. 예를 들어 X1-X2 를 모니터하면 아래 그림의 왼쪽과 같이 강세 스프레드 합성 전략이 되고, 또 다른 포지션을 모니터 하면 아래 그림의 가운데나 오른쪽과 같은 합성 전략이 되기도 한다.
이 전략은 전 행사가격에 대해 실시간으로 전 합성 포지션에 대해 차익거래 기회가 존재하는지 여부를 검출하는 아주 광범위한 전략이 된다. 필자는 전 행사가격에 대한 실시간 감시는 해 보았지만, 많은 조합 (많은 합성 전략)에 대해서는 조사해 보지 못했다. 앞으로 차차 조사해 볼 예정이다. 이 전략에 관심이 있는 독자들은 더 다양한 조합으로 시도해 보고 필자가 찾아보지 못한 부분들을 발견하기 바란다.
이상에서 본 바와 같이 무위험 차익거래 기회는 발생하기가 매우 어렵다. 따라서 자연스럽게 통계적 차익거래에 관심을 갖게 된다. 프리미엄이 0 보다 크더라도, 만기 시 기대 손익이 더 크다면 시도해 볼 만한 것이 되고, 시도 횟수가 많아질수록 확률적 수익은 기대 손익에 가깝게 되므로 통계적 차익거래가 된다. 이에 대해서는 다음 포스트에서 설명해 보기로 하겠다.
주-1)
옵션의 현재가는 만기 시 얻을 수 있는 기대 손익을 현재 시점으로 할인한 것과 동일하다. 옵션의 이론가는 블랙-숄즈 공식으로 구하지만, 또 다른 방법으로는 만기 시 기대 손익을 계산해서 이를 현재가치로 할인하면 현재의 옵션가격이 된다. 블랙-숄즈에 의한 결과와 기대 손익을 할인한 결과는 잘 일치한다. 이것은 두 모형이 모두 기하브라운운동에 기초한 주가 모형을 사용했기 때문에 근본적으로는 같은 모형이기 때문이다.
P.S. 위에서 분석한 로그파일을 첨부하였습니다. 첨부파일은 텍스트파일로 엑셀에서 불러들이면 됩니다. 관심있으신 분들은 직접 분석해 보세요.
