[알고리즘 트레이딩/전략편] 16. 옵션의 통계적 차익거래 : Skewness and Kurtosis Trades (2)

알고리즘 트레이딩 (Algorithmic Trading) – 전략 (16)

옵션의 통계적 차익거래 : Skewness and Kurtosis Trades (2)

(기초자산과 옵션가격의 확률분포 추정

)이전 포스트의 논리를 확인해 보기위해 실제 옵션시장의 데이터를 이용하여 기초자산의 확률분포 (HV-SPD)와 옵션의 시장가격 확률분포 (IV-SPD)를 구해 보았다. 시장 데이터는 2012년 4월 20일 11:26:00 ~ 15:00 까지 관찰한 데이터를 이용하였으며, 실시간으로 변화를 관찰한 것이 아니라 로그파일에 저장하여 장 종료 후 일괄적으로 계산한 것이다. 따라서 장중의 변화는 반영되지 않았다. 참고로, 금일은 기초자산인 KOSPI200 지수가 -1.41% 하락한 상태이다.

아래의 왼쪽 그림은 행사가격별 콜옵션과 풋옵션의 가격분포이다. 육안으로 보았을 때는 특이한 괴리 없이 정상적인 분포를 하고 있는 모습이다. 미세한 괴리를 검출해 보기위해 이전 포스트에서 설명한 확률분포를 그려 보았다. 오른쪽 그림은 기초자산의 HV-SPD와 옵션의 IV-SPD를 비교해 본 모습이다. 빨간색 그래프가 기초자산의 HV-SPD이고, 파란색과 초록색 그래프는 옵션의 IV-SPD 이다. 뒷부분에 설명하겠지만, 확률분포의 오른쪽은 콜옵션의 영역이고, 왼쪽은 풋옵션의 영역이다.

확률분포를 비교해 보면 IV-SPD가 오른쪽으로 약간 기운 모습이고, 가운데가 뾰족하게 올라간 모습이다. 첨도 (Kurtosis)가 높고, 오른쪽으로 약간의 왜도 (Skewness)가 발생한 상태이다. 위와 같은 형태의 IV-SPD가 의미하는 바는, 옵션 시장에서는 기초자산의 주가가 현재보다 약간 더 오를것으로 기대하지만, 크게 오르지는 못할 것으로 기대하고 있다고 해석된다. 풋 시장에서는 IV-SPD가 HV-SPD보다 아래에 있으므로 주가가 크게 떨어지지는 않을 것이라는 기대가 보이고 있다. 이 기대감이 옵션의 프리미엄에 영향을 미쳐 기대감이 높은 지점의 옵션은 프리미엄이 높게 형성되었을 것이고, 낮은 지역은 프리미엄이 낮게 형성되었을 것이다.

위의 그림에서는 행사가격이 270.0인 콜옵션과 행사가격이 267.5인 풋 옵션에서 가장 높은 기대를 보이고 있고, 행사가격이 255.0인 풋옵션은 가장 낮은 기대감을 보이고 있다. 만약 옵션 만기에 가까이 갈수록 IV-SPD가 HV-SPD로 회귀한다면 (정상 상태로 복귀), 프리미엄이 높은 풋옵션 267.5와 콜 옵션 270.0은 매도하고, 프리미엄이 낮은 풋 옵션 255.0을 매수하면 유리할 수 있다고 보는 것이다.

그러면 아래와 같이 2가지의 합성 전략을 생각해 볼 수 있다 (다른 합성도 있을 수 있다). 첫 번째는 콜 270.0을 매도하고 풋 255.0을 매수한 전략이고, 두 번째는 풋 267.5를 매도하고 풋 255.5를 매수한 전략이다. 이렇게 포지션을 잡으면 프리미엄을 낮게 지불한 상태가 되어 유리한 포지션이 될 수 있을 것이다.

이 전략은 수많은 옵션전략 중에 극히 일부분인 하나의 틀에서 바라본 것에 불과하다. 따라서  절대적으로 수익이 보장된다는 것은 아니다. 어디까지나 통계적인 차익거래 전략이므로 맞을 때도 있고 맞지 않을 때도 있을 것이다. 다만 확률적으로 조금이나마 유리한 포지션을 취해보자는 취지이다.

그럼 이번에는 관찰된 데이터로부터 HV-SPD와 IV-SPD를 계산하는 방법에 대해 알아보자. 정상적인 방법은 수학적으로 다소 복잡한 면이 있으나, 여기서는 엑셀에서 근사계산으로 각 SPD를 계산해 보도록 하겠다. 근사식으로 계산하여도 결과에는 큰 영향이 없다.

확률분포를 비교하려면 두 개의 확률분포가 필요한데, 하나는 기초자산의 데이터로부터 추정한 확률분포이고, 다른 하나는 옵션의 시장가로부터 추정한 확률분포이다. 그리고 확률분포는 변동성 (표준편차)과 밀접한 관계가 있다. 확률분포의 평균은 확률분포의 위치가 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지를 결정하는 요인이고, 변동성은 확률분포의 폭과 관련이 있다. 따라서 확률분포의 모양은 변동성에 의해 결정된다고 볼 수 있다.

변동성은 기초자산의 데이터로 평가한 역사적변동성 (HV : Historical Volatility)과, 옵션의 시장가로부터 구한 내재변동성 (IV : Implied Volatility)이 사용된다. 기초자산의 확률분포에는 HV가 사용되고, 옵션의 확률분포에는 IV가 사용된다. HV나 IV는 실제 시장가격으로부터 추출한 값이므로, 두 확률분포는 실제 시장가격이 반영된 것이라 할 수 있다. HV를 사용한 확률분포를 HV-SPD라 하고, IV를 사용한 확률분포를 IV-SPD라 하겠다.

HV-SPD를 정상적으로 구하려면 금융수학/옵션의 기대손익 편의 식 (1)로부터 구해야 한다. 이 식은 현재의 변동성 (HV)으로 일정시간 후의 기초자산의 분포를 계산하는 로그정규분포함수이다. 그러나 금융수학/옵션의 행사가 민감도 편에서 살펴본 식 (11)에 의하면, 옵션의 이론가격을 행사가격으로 두 번 미분하여 일정시간 이후의 가치로 환산한 것이, 일정시간 이후의 기초자산의 확률분포와 정확히 일치한다. 따라서 옵션의 이론가로부터 기초자산의 확률분포 (HV-SPD)를 추출할 수 있는 것이다. 옵션의 이론가는 HV가 반영된 것이므로, 추출된 확률분포도 HV에 기반한 것이다. 여기서는 이 방법을 사용하였으며, 계산의 편의상 옵션의 이론가를 행사가격으로 2번 미분하는 대신, 2번 차분하는 방법으로 계산하였다 (주-1 참조).

IV-SPD는 옵션의 시장가로부터 직접 계산한 확률분포이다. 내재변동성 (IV)은 역사적변동성 (HV)과 달리 유일한 값으로 존재하지 않고 행사가격별로 다양하게 존재한다. 이것은 변동성 미소 (Volatility Smile) 현상이라고 하는데, 내가격에 있는 옵션에서는 IV가 높게 관찰되고, 등가격에서는 낮게 관찰된다. 따라서 IV-SPD는 여러 개가 존재한다. 이 중에 어떤 것을 이용하여 HV-SPD와 비교할 것인지가 관건이 된다. 이 현상은 블랙숄즈 모형의 가장 큰 단점으로 지적되기도 한다. 이 문제를 해결하기 위해 여러 방안이 연구되고 있으나, 여기서는 단순히 옵션 시장가의 2차 차분을 이용하여 IV-SPD를 계산해 보았다. 계산의 편리상 시장가격을 행사가격으로 두 번 미분한 것 대신, 행사가격에 대해 2번 차분한 값을 이용한다 (주-1 참조). 이렇게 하면 시장가에 각각의 IV가 녹아들어 있으므로, 특정 IV를 선택해야 하는 문제가 발생하지 않는다.

이제 실제 계산에 들어가 보자. 아래 그림은 2012년 4월20일 11:26:00 ~ 15:00:00 까지 콜옵션의 행사가격별 가격 데이터이다. 당일 HV는 17.46% 였고, 잔존기간은 20일, 무위험 수익률은 3.54%를 적용하였다. 옵션의 이론가 계산까지는 금융수학/블랙숄즈 엑셀연습 편을 참조하기로 하고, 여기서는 행사가격 민감도와 SPD 계산에 대해서만 설명하도록 한다.

1. 행사가격 민감도 계산

행사가격 민감도는 옵션 가격을 행사가격으로 1차 미분한 값을 말한다. 여기서는 미분대신 차분한 값을 사용하였다 (주-1 참조).

* 민감도 (HV)는 옵션의 이론가에 대한 행사가격의 민감도를 말한다.

셀 C(17) = (C16-B16)/(C6-B6), 셀 D(17) = (D16-C16)/(D6-C6), ….

* 민감도 (IV)는 옵션의 시장가에 대한 행사가격의 민감도를 말한다.

셀 C(18) = (C11-B11)/(C6-B6), 셀 D(18) = (D11-C11)/(D6-C6), ….

2. SPD (State Price Density) 계산

SPD는 확률분포를 의미하는 것으로, 옵션 가격을 행사가격으로 2차 미분한 값의 만기가치를 말한다. 이 값도 미분대신 차분값을 이용하였다.

* HV-SPD : 셀 D(19) = EXP($B$3*$B$2)*(D17-C17)/(D6-C6), …

* IV-SPD : 셀 D(20) = EXP($B$3*$B$2)*(D18-C18)/(D6-C6), …

계산된 SPD를 이용하여 그래프를 그리면 위의 오른쪽과 같은 그래프가 된다. 내가격에 있는 옵션은 유동성이 작아 정확한 정보가 되지 못하므로, 등가격과 외가격의 영역만 그린다. 내가격대의 확률분포는 풋옵션으로 계산한 확률분포를 이용한다. 따라서 콜옵션으로는 확률분포의 오른쪽 부분만 관찰한다. 빨간색 그래프는 HV-SPD로, 만기 시 예상되는 기초자산에 대한 확률분포가 된다. 파란색 그래프는 IV-SPD로 만기 시점으로 환산한 옵션의 확률분포가 된다. 두 그래프를 비교해보면 첨도 (Kurtosis) 현상이 관찰되고, 행사가격이 270.0인 콜옵션의 확률이 HV-SPD에 비해 높게 나타난다.

아래 그림은 풋옵션 데이터로 계산한 HV-SPD와 IV-SPD 이다. 계산방식은 위와 동일하다. 풋옵션으로 그린 확률분포도 등가격과 외가격 영역만 그리므로, 확률분포의 왼쪽 영역만 관찰한다. 아래 그림에서는, 행사가격이 255.0 부근의 풋옵션은 HV-SPD보다 낮은 확률을 보이고, 행사가격이 267.5와 270.0은 높은 확률을 보이고 있다.

위와 같이 콜옵션으로 구한 확률분포의 오른쪽 부분과 풋옵션으로 구한 왼쪽 부분을 하나로 합쳐서 그리면 맨 위에 있는 그림과 같이 완전한 하나의 확률분포를 얻을 수 있다. 등가격 대에서는 콜옵션, 풋옵션 모두 첨도 현상을 보이고 있다. 옵션 시장가격에 대부분 첨도 현상이 나타나는지는 오래 관찰을 해보지 않은 관계로 아직 확인이 되지 않았다.

이 분석은 실시간 감시가 아닌 수집한 데이터를 통해 일괄적으로 계산한 결과로, 장중에 변화하는 확률분포에 대한 정보는 부족하다. 다음 포스트에서는 실시간으로 확률분포를 관찰하는 프로그램을 이용하여 장중의 변화에 대해 기록해 보겠다. 약, 1주일 정도 관찰하여 왜도나 첨도에 어떤 변화가 보이는지 기록해 볼 예정이다.

주-1 :

옵션 가격을 행사가격으로 미분한 값 대신에 아래와 같이 각각 차분한 값으로 계산 하였다. 이렇게 계산하여도 확률분포의 전체 모양에는 큰 차이가 없다.

[출처]16. 옵션의 통계적 차익거래 : Skewness and Kurtosis Trades (2)|작성자아마퀀트