News & Events
[알고리즘 트레이딩/전략편] 19. 옵션 양매수 전략의 특성 : Volatility Trading (2)
알고리즘 트레이딩 (Algorithmic Trading) – 전략 (19)
옵션의 변동성 전략 : Volatility Trading (2)
(양매수 전략의 특성)기초자산의 변동성을 이용한 옵션 전략은 변동성 차익거래 (Volatility Arbitrage), 변동성 추종 전략 등 매우 다양하다. 변동성과 시간가치를 교환하는 전략으로는 기초자산이 오르던지 떨어지던지 상관없이 변동성만 있으면 수익이 발생하는 모양이라면 모두 가능하다. 이런 모양으로는 포물선 형태의 수익구조를 가지는, Straddle, Strangle, Butterfly, Condor 등이 있고, 포물선 방향에 따라 매수 포지션과 매도 포지션으로 나뉜다. 매수 포지션은 변동성이 높을 때 수익이 발생하고, 매도 포지션은 변동성이 작을 때 수익이 발생한다.
특성이 모두 유사하므로, 여기서는 Straddle 전략에 대한 특성을 살펴보기로 한다. Straddle 매수 전략은 콜옵션과 풋옵션을 동시에 매수하는 전략으로 양매수 전략이라고 하고, 반대의 경우를 Straddle 매도, 혹은 양매도 전략이라고 한다. 콜옵션과 풋옵션은 동일 행사가격을 선택하기도 하고, 델타 헤지로 서로 비율을 다르게 하기도 한다. 여기서는 델타 헤지로 기초자산 변화의 영향을 작게 받는 경우를 가정한다.
아래 그림은 양매수 전략의 손익 구조와 기대손익 구조를 그려본 것이다. 그림 (가)는 잘 알려진 양매수 전략의 손익 구조이다. 델타 헤지를 한 경우에는 포물선의 가장 정점에서 포지션을 취하게 되고, 기초자산이 크게 오르거나, 크게 내릴 경우 수익이 발생하는 구조이다. 반대로, 기초자산이 크게 오르지 못하면 시간가치를 지불해야 한다. 델타 헤지를 하면 기초자산이 위나 아래로 움직여도 모두 수익이 발생하지만, 시간가치는 크게 지불해야 한다.
그림 (가)의 손익 구조에 대해 손실은 제한적이지만 수익은 무한대라고 설명하곤 한다. 틀린 말은 아니다. 최대 손실은 시간가치만큼 이거나, 만기 시에는 매수한 옵션의 프리미엄만큼 이지만, 이익은 양방향으로 무한대까지 가능하긴 하다. 그러나 여기에 기초자산의 확률밀도함수를 같이 그려보면 그림 (나)와 같이 된다. 제한된 손실이지만 손실의 확률은 높고, 큰 수익의 확률은 점점 감소한다. 손익과 확률분포를 알고 있으므로, 기댓값을 계산해 보면 그림 (다)와 같이 된다. 기댓값은 손익*확률을 모두 합한 것이므로, 기댓값의 손실 부분과 이익 부분의 면적을 모두 합하면 0 이 된다. 이것은 블랙숄즈 모형에서 기초자산의 수익률 분포로 정규분포를 사용하였고, 마팅게일 성질을 이용하였기 때문에 발생하는 당연한 결과이다.
손익 구조만 보면 수익이 커 보이는데 기댓값을 보면 그렇지 않다는 것을 쉽게 알 수 있다. 양매도의 경우에는 반대의 그래프가 나오고, 이것도 기댓값은 0 이 된다. 만약, 변동성이 커지면 확률밀도함수의 폭이 넓어져서 기대손익의 이익 부분의 면적이 커지므로 수익이 발생한다. 반대로 변동성이 작아지면 확률밀도함수의 폭이 좁아지고 이익 부분의 면적은 작아져서 손실이 발생한다. 시간가치는 시간에 따라 일률적으로 감소하므로, 이 전략은 오직 변동성에 따라 기대 손익이 결정되는 모형이고 확률밀도함수로 그 특징이 잘 설명된다.
위의 설명은 모두 옵션 시장이 블랙숄즈 모형을 따른다는 전제하의 설명이다. 그러나 변동성 미소 (Volatility Smile) 현상에서 살펴보았듯이, 실제 옵션 시장은 블랙숄즈 모형을 따르지 않는다 (1987년 이후). 현실의 확률밀도함수는 정규분포보다 첨도가 높고 꼬리부분이 약간 두터운 모습으로 관측된다 (특히 좌측 꼬리). 만약 꼬리부분의 두터움 보다 첨도가 높은 것이 더 주요하다면, 위의 설명은 수정되어야 한다. 즉, 첨도가 높기 때문에 가운데 부분의 확률이 더 높아지고, 손실의 확률이 더 커진다. 이 관측이 사실이라면 기댓값은 0 이 되지 못하고, 음 (-)의 값이 나오게 된다. 그러면 양매수 포지션이 양매도 포지션보다 불리하다는 결론이 된다. (이전 포스트의 왜도/첨도 차익거래에서 실제 관측된 확률분포도 첨도가 높았다.) 실제로 양매수가 다소 불리한 측면이 있다는 보고서들을 찾아 볼 수 있다 (아래의 Reference 참조).
여기서는 일단 정규분포를 가정하고 그 특징을 살펴보기로 한다. 아래 그림과 수식은 옵션과 민감도의 상호관계 편에서 살펴본 내용이다. C+P의 손익은 아래 식처럼 손실 부분과 이익 부분으로 분해해 볼 수 있다. 손실 부분은 시간가치인 세타이고, 이익 부분은 변동성과 기초자산 (변화) 그리고 감마 부분이다. 또한, 손익분기 (BEP)를 따져보면 변동성이 시간가치 하락을 커버할 정도로만 발생하면 되므로, 아래의 두 번째 식과 같이 된다. 위에서 분포의 폭으로 이해한 것이나, 수식으로 이해한 것이 잘 일치한다.
이번에는 몬테카를로 시뮬레이션으로 양매수 포지션의 수익률 분포를 구해 보았다. 각각 장 개시 직후에 양매수 포지션을 취하고, 장 마감 직전에 청산하여 1일간 콜과 풋을 보유한 것을 가정하여 시뮬레이션을 수행한 결과이다. 두 경우 모두 손실은 제한적이지만 (최대 -1.67%), 빈도가 높았고, 수익은 높은 적도 있었지만 (최대 +50%), 빈도가 낮음을 알 수 있다. 양매수 전략은 조금씩 여러 번 손실을 보다가, 가끔 한 번씩 큰 수익을 볼 수 있고, 반대로 양매도 전략은 조금씩 여러 번 수익을 내다가, 가끔 한 번씩 큰 손실을 볼 수 있는 구조라는 것을 간접적으로 실험해 본 것이다.
그러면 양매수와 양매도의 선택 기준은 무엇인가? 명확한 기준은 없다. 흔히들 변동성 장세에서는 양매수 전략이 유리하다고 한다. 당연한 이야기이다. 그러나 지금이 변동성 장세인지를 확인할 방법은 없다. 거시 경제지표나, 현재의 경제상황 등을 종합해서 투자자의 주관적인 판단에 의존할 수밖에 없다. 기술적으로는 (예를 들어 ARCH, GARCH와 같은) 시계열 분석 방법으로 변동성을 예측해 볼 수 있고, 옵션의 내재변동성을 대표화한 VIX (V-KOSPI) 지표 같은 것을 참조해 볼 수 있다. 변동성 예측의 기술적 부분에 대해서는 금융수학 편에서 좀 더 스터디를 해 보기로 한다.
Reference : Empirical Properties of Straddle Returns
