[알고리즘 트레이딩/전략편] 20. 내재변동성과 기초자산 수익률 관계

알고리즘 트레이딩 (Algorithmic Trading) – 전략 (20)

옵션의 변동성 전략 : Volatility Trading (3)

(내재변동성과 기초자산 수익률 관계의 관찰)기초자산의 수익률과 내재변동성과는 어떤 관계가 있을까? 일반적으로 둘의 관계는 음(-)의 상관관계를 갖는다. 주가지수가 올라가면 내재변동성은 감소하고, 주가지수가 내려가면 내재변동성은 증가하는 경향이 있다. 단순히 생각해 보면, 주가지수가 올라가면 콜옵션의 가격도 올라가고, 콜옵션의 가격이 올라가면 내재변동성은 증가한다. 따라서 주가지수가 올라가면 내재변동성이 증가하는 것이 보통일 것 같다. 또한, 주가지수 수익률이 증가하면 위험도 같이 증가하므로, 위험과 관계있는 내재변동성도 증가해야 할 것 같다. 그러나 현상은 정반대이다. 왜 이런 현상이 발생하는 것일까?

아래의 그림은 2012.5.15 ~ 2012.5.18 (10:48 ~ 15:00) 까지 4일 동안 관측한 KP200 지수와 내재변동성의 관계를 그려본 것이다. 자료는 장중의 KP200 지수와 ATM 콜옵션의 틱 (Tick) 데이터를 이용하였으며, 내재변동성 (IV)을 직접 계산하여 순간의 변화를 관측한 것이다 (Tick 데이터를 압축하여 1분 데이터로 그렸음). 이 포스트 기록을 위해 5.12일부터 관측을 시작 하였으나, 이번 주는 주가지수가 많이 하락한 주간으로 평상적인 데이터로 보기는 어렵다. 평상시에 비해 둘 관계의 상관계수는 (-)의 방향으로 더 높은 편이지만, 분석결과에는 크게 영향이 없을 것으로 생각된다. 아래의 차트는 비교를 위해 KP200 지수와 내재변동성을 평균과 표준편차로 표준화한 정규화지수로 환산하여 표현한 것이다.

5.15일 차트를 보면 KP200 지수는 상승하고 있으나 내재변동성은 하락하고 있으며, 가격의 상관계수는 -0.98로 거의 역 상관관계에 있음을 알 수 있다. 나머지도 모두 상관관계의 정도만 약간 다를 뿐 거의 동일하다.

아래의 관계를 살펴 보자.

[가] 기초자산 상승 –(1)–> 콜옵션 상승 –(2)–> 내재변동성 증가 (?)

[나] 콜옵션 가격 = 변동성으로 인한 증가 요인 + 시간가치로 인한 하락요인

[다] 기초자산 상승속도 증가 –> 변동성 증가 –> 콜옵션 상승 –> 내재변동성 증가 (?)

[라] 기초자산 상승 –> 콜옵션 상승 –> 내재변동성 감소 경향

단순히 생각해 보면 [가]의 관계가 성립할 것 같은데 현상은 반대이다. 어디에 문제가 있는지 살펴보자. 과정 (1)에 문제가 있는 것 같다. 기초자산 가격이 천천히 상승한다면, [나]의 관계에서 옵션의 변동성 증가 요인은 작아지고 시간가치 하락요인이 커서 옵션가격은 하락하게 된다. 따라서 기초자산이 상승한다고 콜옵션의 가격이 무조건 상승한다고 단정할 수는 없다. 좀 더 정확히 말하면 [다]의 관계가 더 적절할 수도 있다. 그러나 이것도 음의 상관관계를 제대로 설명하지 못한다. 실제로는 [라]의 관계가 더 일반적이다. 기초자산이 증가하면 콜옵션은 상승하는데, 증가된 S로 인해 C가 증가한 것이고, IV는 오히려 감소하는 것이 일반적이다.

내재변동성과 기초자산 수익률의 관계에 대해 학자들 사이에 여러 가설이 존재한다. 1976년 Black은 레버리지 가설 (Leverage hypothesis)을 통해, 기업의 부채와 주식의 관계로 이 현상을 설명하였다. 기업의 가치가 떨어지면, 부채와 주식 중 주식의 비율이 낮아지고, 낮아진 주식의 위험이 기업의 전체 위험을 대표하므로 주식의 위험은 더욱 증가한다고 설명하였다. 기업을 기초자산으로 보면, 기초자산이 떨어질 때 변동성은 증가한다는 설명이다. 1992년 Campbell, Hentschel 같은 사람들은 변동성 피드백 가설 (Volatility Feedback hypothesis)을 통해 변동성 증가가 먼저이고, 변동성 증가가 기초자산의 수익률을 감소시킨다고 설명하였다. 2004년 Low 는 행동경제학 측면에서, 투자자들은 수익보다는 손실에 더욱 더 민감하다는 심리적 요인으로 설명하기도 하였다. (물론 이 설명들은 장기적인 관계를 설명한 것이다.)

위의 가설들을 보면, 이 현상을 단순히 수식 같은 것으로 이해하기는 어려울 것 같다. 상관계수를 보면 보통의 경우 0.8 ~ 0.9 정도이다. 음의 상관관계가 매우 높다. 그러나 완전히 역 상관은 아니다. 그래서 둘의 관계를 대칭적 구조 (Symmetric)와 비대칭적 구조 (Non-symmetric)가 혼합된 것으로 본다. 즉, 음의 상관일 때도 있고, 그렇지 않을 때도 있다 (상관관계 = 대칭적 성분 + 비대칭적 성분).

관측 결과는 보통 아래와 같다.

1. 내재변동성이 낮을 때는 음의 상관도가 높음.

2. 내재변동성이 클 때는 음의 상관도가 낮음.

3. 내재변동성은 호재보다는 악재 뉴스에 더 민감함.

4. 기초자산의 변동성이 증가하면 위험 헤지를 위한 옵션 수요 증가로 내재변동성 증가 등.

위의 그림은 기초자산의 가격과 내재변동성의 관계를 그려본 것이다. 이번에는 기초자산의 수익률과 내재변동성의 변화율 간의 관계를 살펴보자. 두 변화율 사이의 산포도는 아래와 같고, 변화율의 상관계수는 -0.70 ~ -0.80 수준이다. 두 수익률의 상관관계가 이 정도라면 통계적으로 유의한 수준에서 둘의 관계는 역 상관으로 보아도 될 만하다.

기초자산의 수익률과 내재변동성의 변화율이 완전히 역 상관인 경우도 있고, 그렇지 않은 경우도 있다. 그럼 이것이 어떤 의미를 가지고 있을까? 만약 두 수익률이 완전히 역 상관이라면, 두 수익률의 합은 일정할 것이다. 만약 두 수익률의 합이 일정한 수준을 벗어난 지점이 있다면, 이 지점에서 둘의 대칭관계는 어긋난다. 이 지점을 관찰해 보기위해 아래 그림을 그려 보았다.

그림의 아래 부분은 기초자산의 수익률과 내재변동성의 변화율의 합을 관찰한 것이다, r(SP200) + r(IV). 변화율의 합이 대략 -0.5% ~ +0.5% 사이를 일정한 구역으로 가정해 보자. 그리고 이 구역을 정상구간으로 보고, 이 구간을 벗어난 지점을 비정상 지점으로 가정해 보자. 예를 들어 이 구간을 벗어난 두 지점 (A) 와 (B)를 살펴보면, (A) 지점에서 S의 수익률은 -0.03% 였으나, 내재변동성의 변화율은 +1.04% 였다. 즉, S는 변동이 없었으나, IV만 크게 증가한 지점이다. (B) 지점도 마찬가지로 S는 변동이 없었으나, IV 만 +1.74% 증가하였다. 이것은 S의 변동은 없었고, IV만 증가하였으므로, 콜옵션의 프리미엄만 증가한 것을 의미한다 (차익거래 신호로 이용할 수 있을까?).

이번에는 내재변동성과 C + P 합성 포지션의 프리미엄 관계를 관찰해 보자. 그림 (가)는 5월 15일의 콜옵션으로 계산한 내재변동성과, 풋옵션으로 계산한 내재변동성의 단순평균이다. 이것을 두 옵션의 대표 내재변동성으로 가정해 본다. 그림 (나)는 단순 C + P 합성 포지션의 프리미엄 변화이다. 내재변동성이 감소함에 따라 C + P의 합성 프리미엄도 같이 감소하고 있다. 이 포지션을 취한 경우라면, 계속 손실이 발생하고 있는 모습이다. 기초자산의 가격이 상승하고 있으나, 내재변동성이 감소하고 있으므로 시간가치 하락이 커서 손실이 발생하는 경우이다.

그림 (다)는 매 순간마다 델타 헤지로 C + P 포지션을 취했을 때의 프리미엄 변화이다. 매 순간마다 콜옵션과 풋옵션의 델타를 계산하여 (각각의 IV로 계산하였다), C + 델타의 비율 * P 를 계산하여 그린 그림이다. 이 경우는 내재변동성이 감소함에 따라 오히려 증가하고 있다. 이 의미는, 내재변동성이 감소하고 있으므로, 다시 증가할 것을 예상하여, 델타 헤지로 양매수하려는 수요가 증가하고 있기 때문에 합성 프리미엄이 증가하는 것으로 볼 수도 있다. 그러나 임의의 순간에 델타 헤지로 양매수 포지션을 취했더라도, 연속적으로 헤지를 하지 않는 이상, 내재변동성이 감소하고 있기 때문에 그 포지션은 계속 손실이 발생할 것이다. 글로 표현하기가 애매한데, 이 그림은 연속으로 델타 헤지를 하면 수익이 발생한다는 것을 설명하기 위한 것이 아니라, 델타 헤지의 양매수 수요가 증가하고 있다는 것을 설명하기 위한 것이다. 정리해 보면 내재변동성과 단순 C + P는 양의 상관관계에 있고 (상관계수=0.96), 내재변동성과 델타 헤지 C + P는 음의 상관관계에 있다 (상관계수=-0.80). 양매도 프리미엄에 대해서는 반대로 생각하면 된다.

연속 델타 헤지 포지션의 프리미엄 변화는 (양매수 이외의 어떤 포지션이라도) 미래의 변동성에 대한 기대감이라고 요약할 수 있다. 참고로, 우리나라에는 아직 없지만 Variance Swap 이라는 거래가 있다. 이것은 변동성 자체를 거래하는 것으로, 매수자가 IV로 산정된 가격으로 (Strike Price) Long 포지션을 취한다면, 만기시점에 기초자산의 실제 변동성을 (Realized Volatility : RV) 계산하여 RV가 매수 당시의 IV보다 높으면 수익이 발생하는 구조이다. 여기서 Variance Swap의 Long 포지션이 바로 연속 델타 헤지 포지션 과 동일한 것이다. 따라서 그림 (다)는 Variance Swap의 Long 포지션의 수요가 증가하는 모습이고, 이것은 미래의 변동성이 증가할 것이라는 기대감을 보여주고 있는 것이다.

[출처]20. 내재변동성과 기초자산 수익률 관계|작성자아마퀀트