[금융수학] 37. 주가의 (수익률) 확률 분포 추정

금융 수학 (37)

주가의  (수익률) 확률 분포 추정

요즘은 암 투병 중이신 어머니가 많이 편찮으셔서 간병을 위해 집에 있는 날이 잦아졌다. 그 바람에 시간이 많아져서 그동안 자주 정리하지 못했던 내용들을 하나씩 정리해 보기로 한다 (투자하시는 분들도 스트레스 받지 마시고 건강부터 챙기세요 ^^)

이번 시간에는 그동안 정리한 내재변동성과 SVI 추정식을 이용하여 기초자산의 확률분포를 추정하는 방법에 대해 정리해 본다. 기초자산 (가격이나 수익률)의 확률분포에는 많은 정보가 들어있고, 옵션의 가격도 기초자산의 확률분포를 기반으로 만들어진다. 특히, 미래의 확률분포를 추정하면 시장에 대한 추가적인 정보를 추출할 수 있다. 여기서 기초자산의 확률분포는 Risk-Neutral Density (RND) 혹은 State Price Density (SPD)라 한다.

주가 수익률 분포 (역사적 확률분포)

아래 그림은 KOSPI200 지수의 과거 수익률 분포를 그려본 것이다. KOSPI200 지수의 일별, 주별, 월별 수익률을 계산하고 수익률을 확률변수로 하는 분포를 그려본 것이다 (상세 계산 결과는 첨부된 R 파일 참조). 분포는 모두 좌, 우 대칭으로 정규분포와 유사하지만, 꼬리 쪽이 정규분포보다 두껍다. 이것 때문에 내재변동성이 스마일 형태의 곡선이 된다.

일일 수익률 분포는 첨도가 높고, 월별로 갈수록 첨도가 낮아진다. 이것은 일일 분포에 비해 월별 분포의 변동성 (편차)이 크다는 것을 의미한다. 또한, 일일 분포의 평균은 0.02% 이고 월간 분포의 평균은 0.30% 이다. 이것은 월간으로 갈수록 기대수익률이 높아지고, 동시에 위험도 높아진다는 것을 의미한다. 즉, 주식을 단기로 보유할 때는 기대수익률은 낮지만 위험이 작은 반면, 장기로 보유할 때는 기대수익률은 높지만 위험도 증가 (재고 보유 위험) 한다. Sharp Ratio 측면에서 두 경우는 유사하지만, 단기간 보유일수록 회전율이 높아 거래 비용은 많이 발생한다 (어느 경우가 좋다고 말하기는 어려움).

왜도 (Skewness)는 거의 0 으로, 치우침이 있다고 말하기는 어렵고, 일일 분포의 경우 첨도 (Kurtosis)는 정규분포에 비해 +1.24 정도가 높다. 일반적으로 주가 수익률 분포의 첨도는 정규분포보다 높게 측정된다.

위 그림은 기초자산인 KOSPI200 지수로부터 직접 추출한 과거의 역사적 분포이다. 만약 이 분포를 옵션의 시장가격을 이용해서 추정할 수 있으면, 이 분포는 옵션 만기 시점인 미래의 확률분포가 된다. 옵션 시장에 참여한 거래자들의 행위가 분포의 형태에 반영되는 것이다.

내재변동성을 이용한 미래의 확률분포 추정

옵션의 시장가를 이용하여 기초자산의 확률분포를 추정하기 위해서는 내재변동성을 이용한다. 옵션 가격으로부터 내재변동성을 얻고, 내재변동성을 가지고 확률분포를 추정한다. 아래 그림은 이전 시간에 계산한 내재변동성으로 확률분포를 추정한 것이다 (상세 계산 방법은, 옵션의 행사가 민감도 및 SPD 공식유도 및 첨부파일 참조).

위의 옵션 가격은 2014.5.16 일의 종가이고, 만기는 18거래일 후인 2014.6.12. 일이다. 따라서 위의 분포는 향후 18거래일 후에 예상되는 기초자산의 (가격) 분포라 할 수 있다. 여기서는 수익률이 아닌 가격의 분포를 그렸다. 참고로, 수익률 분포는 정규분포와 유사하고, 가격 분포는 로그정규분포와 유사하다.

왜도 (Skewness)는 -0.61로 분포가 오른쪽으로 약간 기운 모습이고, 첨도 (Kurtosis)는 +0.50으로 정규분포에 비해 약간 높은 정도이다. 참고로 왜도는 기초자산 가격의 움직임에 영향을 받고, 첨도는 기초자산 변동성에 영향을 받는다. 변동성이 낮아지면 첨도는 높아지고, 만기에 가까워질수록 첨도가 높아진다.

SVI 추정식을 이용한 확률분포 추정

그런데, 이 분포는 완전한 분포가 아니다. 관측된 Call 옵션의 종류가 적어 분포의 오른쪽 꼬리 부분에 대한 정보가 없다 (우리나라 옵션은 종류가 적어 진정한 꼬리 부분이 없음). 이 분포를 완전한 형태로 만들려면 SVI 추정식을 이용한다. SVI 추정식으로 꼬리 부분의 분포를 추정한다. 아래 그림은 이전 시간에 계산한 SVI 추정치로 만들어본 분포이다. ATM을 기준으로 좌, 우 추정치가 동일하도록 만들었다 (상세 계산 방법은 첨부파일 참조). 왜도 (Skewness)는 -0.74로 오른쪽으로 치우쳐 있고, 첨도는 +1.50으로 정규분포에 비해 높다.

여기 까지 옵션의 시장가격을 이용하여 만기 점의 확률분포를 추정하는 방법에 대해 알아보았다. 분포에는 위에 언급한 것 이상의 정보가 포함되어 있지만, 정보를 해석하는 것은 주관적 요소가 포함되므로, 여기서는 왜도, 첨도에 대해서만 언급해 보았다.

[출처]37. 주가의 (수익률) 확률 분포 추정|작성자아마퀀트