[알고리즘 트레이딩/시장미시구조] 11. Kyle 모형 (1) – 기본 모형의 설정

시장미시구조론 (Market Microstructure) – (11)

Kyle 모형 (1) – 기본 모형의 설정

시장미시구조론은 시장에서 주가가 형성되는 원리를 설명하기 위해 많은 이론을 전개하고 있다. 이번 시간에는 여러 가지 이론 중 Kyle 교수님의 모형 (1985)에 대해 알아보기로 한다.

Kyle 교수님은 1985년 “Continuous Auction And Insider Trading” 이라는 논문에서 아래와 같은 질문의 해답을 찾기 위해, 시장에 참여하는 투자자들을 정보기반 거래자 (Informed trader or insider), 유동성 거래자 (Liquidity trader or noise trader), 그리고 마켓메이커 (Market Maker)로 구분하여 시장을 모형화 하였다. 시장에서 위의 참여자들은 각자 이익의 극대화를 위해 자신의 입장에서 최적의 전략을 추구할 것이고, 서로의 전략이 충돌하여 변동성이 발생하고 주가가 형성될 것이다.

1. 정보기반 거래자가 보유한 (새로운) 정보가 얼마나 빨리 주가에 반영되는가?
2. 주식시장에서 정보가 정보기반 거래자에게 어느 정도의 가치가 있는가?
3. 유동성 거래자가 주가의 변동성에 어떤 영향을 미치는가?
4. 투기적 시장에서 변동성을 결정짓는 것은 무엇인가?

Kyle 교수님의 모형을 도식화 하면 아래 그림과 같다. 시장에는 단일 상품이 거래되고 있고, 시장의 참여자들은, 거래되는 상품의 향후 가치 (혹은 가격의 방향)를 알고 있는 정보기반 거래자와, 정보와는 무관하게 자신의 특정 목적 (헤지거래, 차익거래 등)을 위한 유동성 거래자, 그리고 시장에 유동성을 공급하여 그 댓가를 추구하는 마켓메이커로 구분된다.

정보기반 거래자는 자신이 획득한 정보를 참조하여 주가의 방향을 알 수 있고, 다른 참여자들은 정보를 가지고 있지 않으므로, 이 시장은 정보의 비대칭 (Information asymmetry)이 존재하는 시장이다. 또한, 정보의 비대칭성으로 인해 완전 경쟁 시장이 될 수 없는 불완전 경쟁시장 (Imperfect competition)이다. 이 시장에서 서로의 전략이 충돌하고 각 전략 간의 상호 작용으로 인해 주가가 움직이고, 주가는 점차 균형점을 찾아갈 것이다 (균형점에 도달하기 전에 또 다른 정보가 발생한다면 또 다른 균형점으로 움직일 것이다).

정보기반 거래자는 주가의 방향을 알고 있으므로, 주가가 상승할 것으로 예상한다면 시장에 매수 (Buy) 주문을 제출할 것이다. 만약 주가가 큰 폭으로 상승할 것이라면 이익을 극대화 하기 위해 주문 수량을 크게 늘리려고 할 것이다. 그러나 주문 수량이 커진다면 시장에서는 이를 감지하고, 매도 (Sell)를 원하는 다른 참여자들이 높은 가격에 매도 주문을 제출할 것이고, 정보기반 거래자의 이익은 줄어들 것이다. 특히, 유동성 공급의 댓가를 추구하는 마켓메이커가 높은 가격에 유동성을 공급한다면 정보기반 거래자의 이익은 낮아질 수밖에 없다. 이 상황은 주문 행위로 인해 정보기반 거래자가 보유하고 있는 정보가 시장에 노출되는 것으로 볼 수 있고, 주문 수량이 커질수록 정보의 노출량이 커지는 것으로 설명할 수 있다. 따라서 정보기반 거래자는 정보의 노출을 최소화 하면서, 이익은 극대화 시키는, 최적 주문 수량을 산출할 수 있는 전략을 필요로 할 것이다.

현실에서 정보기반 거래자가 실제로 존재하는 지에 관한 문제는 크게 중요치 않다. 이 모형은 이러한 거래자가 존재하는 시장에서 주가가 어떤 움직임을 보이는 지를 확인하기 위한 것이다. 실제로 주식 시장에서 연기금 같은 경우를 정보기반 거래자로 볼 수도 있다. 만약 연기금이 삼성전자의 보유 지분을 일정 기간 동안 1% 늘리기로 결정했다면, 연기금은 과거 거래 내역을 참조하여, 지분을 늘리는 동안 주가가 몇 % 정도 상승할 것인지를 미리 추정해 볼 수 있다. 연기금이 단기간에 목표를 달성하려고 한다면, 높은 가격에 매수해야 하므로 별로 소득이 없어 보인다. 따라서 연기금은 특정 기간에 매수할 최적 수량을 산출하여 시장에 정보가 유출되지 않도록 노력할 것이다. 경우에 따라서는, 어떤 때는 매도 주문을 섞어서 (fake order) 시장에 오 정보를 삽입할 수도 있다. 물론, 비용이 발생하겠지만 이득이 더 크다면 충분히 비용을 지불할 수 있다 (fake order의 최적 수량도 결정해 볼 수 있을 듯…).

유동성 거래자 (Noise trader)는 정보를 보유하고 있지 않은 거래자로, 자신의 특정 목적을 달성하기 위해 거래한다. 정보기반 거래자의 정보와는 무관하게 매수, 혹은 매도 주문이 불규칙하게 발생할 수 있다. 유동성 거래자는 정보기반 거래자의 정보가 시장에 노출되는 것을 막아주는 역할을 한다. 만약, 정보기반 거래자가 매수 주문을 내도, 유동성 거래자가 매도 주문을 낸다면 시장에서는 정보를 추출하기 어렵게 된다. 따라서 유동성 거래자가 많이 참여할수록 정보기반 거래자는 더 공격적으로 거래할 수 있고, 정보기반 거래자가 보유한 정보의 가치는 더욱 상승하게 된다. 정보의 가치가 높아질수록 정보기반 거래자는 정보 취득 행위를 더욱 더 적극적으로 할 수 있고 시장은 더욱 활성화 될 수 있다 (거래소는 시장에 유동성 거래자가 참여하기를 원한다?).

마켓메이커는 시장에 제출되는 주문의 흐름 (Order flow)을 관찰하여 정보기반 거래자가 보유한 정보를 추출하기 위해 노력할 것이다. 만약, 시장에 지속적으로 매수 주문이 유입되고 있다면 정보기반 거래자가 보유한 정보는 주가의 상승 신호일 가능성이 크므로, 마켓메이커는 높은 가격에 유동성을 공급할 것이다. 예를 들어, 현재 주가가 100원에 거래되고 있고, 정보기반 거래자는 향후 주가가 200원으로 상승할 것으로 예상하여 지속적으로 매수 주문을 제출하고 있는 상황을 가정해 보자. 마켓메이커는 정보기반 거래자의 200원 이라는 정보를 알아내려고 노력할 것이다. 유동성 거래자의 Noise로 인해 200원이라는 정보를 전부 알아낼 수는 없어도 대략 170 ~ 180원 정도에서 유동성을 공급할 것이다. 따라서 마켓메이커는 최적 호가를 산출할 수 있는 전략을 필요로 한다.

이런 시장의 특성을 파악해 보기위해 아래와 같이 모형을 설정해 보자. 식 1)은 정보기반 거래자가 보유한 정보의 표현식이다. F는 미래 주가의 가치를 의미한다 (Future Value). F는 평균이 F0 이고 분산을 갖는 정규분포로 가정한다. 여기서 δ는 평균이 0 인 정규분포로 신호의 의미를 갖는다. δ > 0 인 영역은 F가 상승하는 신호를 의미하고, δ < 0 인 구간은 F가 하락하는 신호를 의미한다.

정보기반 거래자는 식 1)의 정보를 이용하여 시장에 주문을 낼 것이고, 주문량을 식 2)와 같이 표현할 수 있다. 신호 (δ)가 강할 때는 주문량 (x)을 늘릴 것이므로 x는 δ에 비례한다. 비례 상수인 β는 정보기반 거래자의 공격 성향 (Aggressiveness)을 의미한다. 공격 성향이 높을수록 신호에 따른 주문량이 커지고, 정보의 노출량도 커지게 된다. 따라서 정보기반 거래자는 이익이 극대화 (혹은 효용의 극대화) 되도록 β와 최적 x를 결정해야 한다.

식 3)은 유동성 거래자의 주문량 (z)을 의미한다. 유동성 거래자는 매수 주문, 혹은 매도 주문을 불규칙하게 제출할 것이므로 특별한 모형을 설정할 필요는 없다. 이들의 매수 주문량과 매도 주문량은 확률적으로 같을 것이므로, 평균이 0인 정규분포로 가정한다.

식 4)는 시장에서 관찰되는 총 주문량 (w)에 해당한다. 시장에는 정보기반 거래자의 주문 (x)과 유동성 거래자의 주문 (z)이 (시장가 주문) 발생할 것이므로 총 x + z의 주문량이 관찰된다. 시장에서 x와 z를 별도로 관찰할 수는 없고 총 량인 w만이 관찰될 것이다.

식 5)는 마켓메이커가 유동성을 공급할 가격 (p)이다. 유동성 공급 가격 (p)은 w에 따라 현재 거래되는 가격 (F0)보다 높게 책정될 것이다. 만약 총 매수 주문량 (w)이 많아지면 (정보기반 거래자의 주문인지, 유동성 거래자의 주문인지는 모르지만), w에 따라 가격이 높아진다. 여기서 λ가 커질수록 가격의 편차가 커지므로, λ는 시장 충격 (Market impact)에 해당하고, 역수는 유동성 (Liquidity)을 나타낸다.

모형을 위와 같이 설정하면 각 거래자의 최적 전략을 아래와 같이 모형화 해볼 수 있다. 식 6)은 마켓메이커가 유동성을 공급할 가격을 표현한 식이다. 유동성 공급 가격은 시장에서 w를 관찰하여 F를 추정한 것으로 나타낼 수 있으므로, w에 대한 F의 조건부 기댓값으로 표현할 수 있다. 즉, x + z를 관찰하여 F를 알아내고, 이 가격에 유동성을 공급하는 것이다.

식 7)은 정보기반 거래자의 이익 (Profit)을 나타낸다. 현재 x 수량을 가격 p에 매수하고, 향후 주가가 예상대로 F가 되었다면 평가 차액은 xF – xp가 된다. 마켓메이커의 유동성 공급 가격인 p는 식 5)에서 x, z를 포함하고 있으므로, 정보기반 거래자의 이익은 x, z에 따라 달라진다. 즉, 자신이 결정한 x가 다시 자신의 이익에 영향을 미치고 있다. 정보기반 거래자는 기대 이익이 최대가 되도록 x를 결정해야한다.

마켓메이커는 x를 관찰하여 p를 결정하고, 정보기반 거래자는 p를 관찰하여 x를 결정한다. 즉, 자신의 입장에서만 전략을 만들어 내는 것이 아니라, 상대방의 전략을 감안하여 자신의 전략을 만들어내는 형태이다 (게임이론과 같은). 이런 전략들이 시장에서 서로 충돌하면서 변동성이 발생하고 주가는 움직이게 된다.

이번 시간에는 Kyle의 기본 모형을 설정해 보았다. 다음 시간에는 이 모형의 최적화 작업을 통해 각 모수를 구해서 기본 모형을 완성한 후, 완성된 모형을 통해 위와 같은 시장의 특성을 이해해 보기로 한다.

참고) 위 식은 Kyle 교수의 원래 표기를 따르지 않고, Frank de Jong & Barbara Rindi의 “The Microstructure of Financial Markets”의 표기를 따랐음.

[출처]11. Kyle 모형 (1) – 기본 모형의 설정|작성자아마퀀트