[알고리즘 트레이딩/시장미시구조] 14. Kyle 모형 (4) – 확장모형 (Signal에 의한 정보기반 거래자 – 1)

시장미시구조론 (Market Microstructure) – (14)

   Kyle 모형 (4) – 확장모형 (Signal에 의한 정보기반 거래자 – 1)

이전 3편의 포스트에서는 Kyle의 기본 모형에 대해 알아보았다. 이번 시간부터는 기본 모형을 조금씩 확장시켜 가면서 시장의 특성이 어떻게 변하는지에 대해 알아보기로 한다.

이번 시간에는 정보기반 거래자가 주가의 미래 가치를 직접 알지 못하고 일종의 Signal을 통해 간접적으로 알게 되는 경우에 대해 살펴보기로 한다. 이런 경우는 향후 주가 움직임에 대해 일종의 Signal을 받아 움직이는 정보기반 거래자의 형태로 볼 수 있다. 어떤 투자회사들은 Signal만 전문적으로 제공하는 업체 (Trading Signal Provider)들과 계약을 맺고 Signal Provider 들이 제공하는 Signal에 따라 투자의사를 결정하거나 펀드를 모집하기도 한다. 이런 투자회사들이 시장에서 정보기반 거래자 역할을 하게 된다.

Signal에 의해 움직이는 정보기반 거래자들은 자신이 취득한 Signal이 시장에 노출되는 것을 최소화 하면서 이익을 최대화하려고 할 것이다. 그러나 Signal 자체가 완전한 것이 아니고 불확실성을 내포하고 있으므로, Signal의 정확도에 따라 정보기반 거래자의 행위가 달라지고, 시장의 특성도 달라지게 된다. 참고로 이전 포스트의 기본 모형에서의 정보기반 거래자는 완벽한 Signal (Perfect Signal)을 갖는 경우였다.

이런 특성을 설명하기 위해서는 Kyle의 기본모형을 아래와 같이 확장해 볼 수 있다. 식 1)은 주가의 미래가치 (Future Value)에 대한 표현이다. 기본 모형에 Signal 항인 u가 추가되었고, u는 정규분포로 가정하였다. 즉, Signal 이 정확성을 갖는 상수항이 아니라 확률적 분포로 표현되는 것이다. 식 2)는 기본 모형의 주가 변동성인 δ와 u의 합성 분포를 나타낸다. Signal인 u에 따라 F의 분포가 넓어지고, 미래 주가의 총 불확실성은 증가한다.

정보기반 거래자의 수익 (Profit)

위의 표현을 이용하여 기본 모형의 풀이처럼 모형을 완성해 보면 아래와 같다. 식 3)은 정보기반 거래자의 수익을 의미하고, 식 4)는 마켓메이커가 제출할 호가를 의미한다. 식 5)는 정보기반 거래자가 F를 알고 있는 상태에서 얻을 수 있는 기대 수익이다 (조건부 기대수익). 여기서 F는 Signal을 포함하고 있으므로 기본 모형의 F 보다 불확실성이 높다. 따라서 수익 (π)의 분포도 넓어진다. 단, 식 5)에서 조건 항인 F는 F = δ + u 만 이용하였다 (상수항인 F0 는 제외하였음). 이것은 정확한 수식을 얻기 보다는, 특성만을 알아보기 위해 계산을 단순화하기 위함이다.

식 5)를 완전히 풀기위해서는 식 6) ~ 식 8)의 과정이 필요하다. 식 6)은 조건부 기댓값에 대한 일반적인 표현이고, 식 7)에서 식 8)의 과정을 거치면, 최종적으로 정보기반 거래자의 기대 수익을 식 9)로 나타낼 수 있다.

정보기반 거래자의 수익을 최대로 만드는 주문 수량 (x)을 결정하려면, 식 9)를 x에 대해 미분하면 된다. 결과는 식 11)이 된다. 식 11)은 Signal에 의한 정보기반 거래자가 제출할 최적 주문 수량이 되고, 주문 수량은 주가 변동성과 Signal의 함수인 φ(δ + u) 와 시장충격 계수인 λ에 따라 달라진다. 식 8)에서 정의한 Signal의 정확도가 높아지면 (u의 분산이 0에 가까워지면) φ는 1에 가까워지고, 식 11)은 기본모형의 x와 같아진다. 반대로 Signal의 정확도가 낮아지면 식 11)은 기본모형의 x보다 작아진다. 이것은 Signal의 정확도가 낮아지면 주문 수량을 크게 늘리기 어렵다는 것을 의미한다. 정확히 어떻게 달라지는지에 대해서는 마켓메이커의 최적호가를 산출해 보아야한다 (다음 시간에 …).

식 12)는 Signal에 의한 정보기반 거래자의 공격성향을 의미한다. 기본 모형에 φ 만 추가된 모습이다. φ는 항상 1 보다 작으므로, Signal에 의한 정보기반 거래자의 공격성향은 완벽한 정보기반 거래자 (기본 모형)의 공격 성향보다 항상 작다. 이것은 Signal에 불확실성이 포함되어있기 때문에 공격적으로 주문 수량을 제출할 수 없기 때문이다.

이번 시간에는 Signal에 의한 정보기간 거래자의 기대 수익과, 최적 주문수량, 공격 성향 그리고 신호의 정확성에 대해 알아보았다. 다음 시간에는 Signal이 존재하는 시장에서 마켓메이커의 최적 호가를 계산해본 후 이 모형을 특성을 완성해 보기로 한다.

[출처]14. Kyle 모형 (4) – 확장모형 (Signal에 의한 정보기반 거래자 – 1)|작성자아마퀀트