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[알고리즘 트레이딩/시장미시구조] 20. Kyle 모형 (10) – 다수의 정보기반 거래자 모형(2)
시장미시구조론 (Market Microstructure) – (20)
Kyle 모형 (10) – 다수의 정보기반 거래자 모형(2)
이전 시간에 이어 k 명의 정보기반 거래자가 시장에 참여할 때 정보기반 거래자의 최적 행위에 대해 좀 더 자세히 살펴보기로 한다. 정보기반 거래자 각각의 최적 주문량과, 총 주문량, 그리고 시장 충격과 가격이 어떻게 변하는지 살펴본다.
결과를 먼저 살펴보자. 정보기반 거래자가 1명인 경우의 최적 주문량을 x 라 하자 (기본 모형, 독점 모형). 그럼 k 명일 때 각각의 최적 주문량은 x / 루트(k)가 되어 루트(k) 배 만큼 감소한다. 그리고 정보기반 거래자의 총 주문량은 루트(k) 배 만큼 증가한다. 각각의 주문량이 감소한 이유는 상호 경쟁 때문이고, 총 주문량이 증가한 것은 정보기반 거래자가 늘어났기 때문이다. 정보기반 거래자가 1 명일 때 10 개의 주문이 발생한다면, 2 명일 때는 7 개씩의 주문이 발생하여, 시장에는 총 14개의 주문이 발생한다 (20개가 발생하는 것이 아님).
시장에서 관찰되는 총 주문량 (wk)은 증가한다. 따라서 시장의 총 충격량은 증가한다. 그러나 정보기반 거래자 단위당 기여하는 시장 충격계수 (λk)는 감소한다. 정보기반 거래자가 완전 경쟁을 한다면 각각의 주문량은 x로 일정하여 총 주문량은 더 증가할 것이고, 단위당 시장 충격계수도 증가하여 시장에 발생하는 가격 변동은 더 커질 것이지만, 불완전 경쟁으로 인해 가격은 덜 변동하게 되고, 시장은 균형 상태에 이르게 된다.
아래 수식을 통해 위의 결과를 확인해 보자. 식 (1)은 마켓메이커가 제출할 호가이다. 마켓메이커는 시장에 유입되는 총 주문량 (wk)을 관찰하여 시장의 호가를 결정한다. 식 (1)을 식 (2)로 표현하고, 기본 모형과 동일하게 식 (2) ~ 식 (5) 까지 결과를 이용하면 마켓메이커의 호가 (p)는 식 (6)이 된다. 기본 모형에 k 가 추가된 모습이다.
식 (6)을 시장 충격계수 (λ)를 이용하여 표현하면 식 (7)이 되므로, 시장 충격계수는 식 (8)로 표현할 수 있다. 또한, 이전 포스트에서 각 정보기반 거래자의 공격성 (βk)은 식 (9) 이므로, 식 (8)과 식 (9)를 이용하면 식 (10)과 같이 λk, βk를 구할 수 있다. 식 (10)에서 k 가 증가할수록 λk와 βk는 감소함을 알 수 있다 (d(λk) / dk < 0). 즉, 시장 충격계수와 정보기반 거래자의 공격성은 감소한다. 이것은 정보기반 거래자들이 서로 (불완전) 경쟁하기 때문이다.
식 (10)을 기본 모형의 λ, β를 이용하여 표현하면 식 (11)과 (12)가 된다. k = 1일 때는 기본 모형과 동일하게 되고, k 가 증가할수록 λk, βk 는 모두 감소한다. βk 의 경우 k 가 소수일 때는 급속히 감소하고, k 가 다수일 때는 완만하게 감소한다. 정보기반 거래자가 늘어날수록 정보가 시장에 노출되는 양이 증가하므로, 이것을 방지하기위한 방편으로 공격성을 줄이는 것이다 (정보기반 거래자는 위험회피적 성향을 띰). λ, β와 k 의 관계를 그려보면 아래 그림과 같다.
식 (13)은 각 정보기반 거래자의 최적 주문량이다 (균형 상태에서는 모두 동일). 기본 모형일 때의 x 에 비해 루트(k) 배 만큼 감소한다. 식 (14)는 k 명 전체의 총 주문량이다. 총 주문량은 당연히 1명 있을 때에 비해 증가한다 (루트 x 배). 식 (13)과 (14)도 k = 1 일 때는 기본 모형과 일치한다.
k가 증가할수록 정보기반 거래자 당 시장 충격 계수 (λk)는 감소하지만, 시장에 가해지는 총 충격은 증가한다. 이것은 총 주문량 (wk)이 증가하기 때문이다. 그러나 정보기반 거래자들이 완전경쟁을 할 때보다는 덜 증가할 것이다. 식 (15)는 마켓메이커가 조성한 시장 가격이다. k 가 증가할수록 λk 는 감소하지만, wk 가 증가하여 pk 는 증가한다. 즉, 시장의 가격 변동성은 커진다. 이것은 정보기반 거래자가 늘어나기 때문에 당연히 나타나는 결과이다.
이상으로 2 편의 포스트를 통해 완전한 신호 (Perfect signal)를 갖고 있는 정보기반 거래자가 다수인 경우에 시장 참여자들의 최적 행위에 대해 알아보았고, 그 결과 시장에 어떤 영향이 미치는 지에 대해 알아보았다. 다음 시간에는 정보기반 거래자들이 불완전한 신호를 가지고 있으면 시장이 어떻게 변하는지에 대해 살펴보기로 한다.
