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[알고리즘 트레이딩/시장미시구조] 30. PIN 모형 (6) – 모수 추정 결과의 검증
시장미시구조론 (Market Microstructure) – (30)
PIN 모형 (6) – 모수 추정 결과의 검증
이전 시간에 추정한 모수들이 신뢰할만한 것인지 확인해보기로 한다. 확인하는 방법은 간단히 우도함수의 극대점을 관찰해서 안정적인 Global Max. 지점을 확인해보는 것으로 한다. 우도함수가 3차원 정도라면 전 구간에 대해 그래프를 그려보면 좋겠지만, PIN 모형의 모수들은 다차원 공간에 있으므로 그림으로는 확인이 곤란하다.
아래 테이블은 Yan & Zhang (2012)이 제안한 방식으로 전체 구간에서 모수들의 초깃값을 설정하여 우도함수의 극대점을 찾아본 결과이다 (일종의 Grid search 방식). 데이터는 이전 포스트에서 사용한 2014년 6월 24일 (09:00:00 ~ 14:50:00) 삼성전자의 5분봉을 이용하였다.
Grid Search 방식으로 125개의 서로 다른 지점에서 출발하여 발견된 모든 극대점 (L)을 표시하였다. 그리고 발견된 극대점 (L)을 오름차순으로 정렬하였다. 처음 7개 구간에서는 조금씩 다른 극대점이 발견되었고, 8번째부터는 동일한 극대점이 발견되었다. 8번째부터 있는 극대점은 앞부분보다 크다. 따라서 처음 7개 지점은 Local Max. 지점이고, 8번째부터는 Global Max. 지점임을 알 수 있다.
Global Max. 지점에서는 초깃값이 달라도 모수의 추정치가 α= 0.30, δ= 0.14 로 매우 안정적인 것을 알 수 있다. 만약, 5번처럼 초깃값으로 α= 0.50, δ= 0.30 을 사용한다면 극대점이 20,425.21 를 찾아갈 것이고, 모수는 α= 0.27, δ= 0.55 로 추정될 것이다. 이와 같이 초깃값에 따라 추정치가 달라질 수 있으므로, 전체 구간을 검색해서 Global Max. 지점을 찾아 최종 추정치를 결정해야 한다.
아래 그림은 위의 테이블을 그림으로 그려본 것이다 (no = 1 ~ 30). 왼쪽 그림은 우도함수의 극대점을 그린 것이고, 오른쪽 그림은 α, δ의 추정치를 그린 것이다. 그림처럼 여러 개의 Local Max. 지점이 존재하는 것을 알 수 있다 (3번째부터는 비슷하긴 하지만…). Local Max. 지점에서 추정된 α, δ는 매우 불안정한 반면, Global Max. 지점에서는 매우 안정적인 것을 알 수 있다.
모수 추정이 잘 되었는지 검증하는 방법은 여러 가지가 있겠지만, 여기서는 간단히 우도함수의 극대점을 관찰하여 상식과 잘 부합되는 결과가 나왔는지 정도만 확인해 보았다. 이런 관점에서 보면 이전 포스트의 추정은 그런대로 잘되었다고 볼 수 있다.
참고로 MLE (Maximum Likelihood Estimator) 방식으로 모수를 추정하는 모든 모형들은 이러한 과정을 거쳐서 Global Max. 지점을 찾아야 한다. 본 블로그에서 다룬 GARCH 모형에 의한 변동성 추정이나, SVI 모형을 통한 내재변동성 스마일 곡선 추정 등이 이에 해당한다.
