[페어 트레이딩/고급편] 24. 공적분 몬테카를로 시뮬레이션 (1)

페어트레이딩 (Pairs Trading) – 추가편(8)
공적분 몬테카를로 시뮬레이션 (1)

페어 트레이딩의 시뮬레이션을 위해 상관관계에 의한 시뮬레이션에 대해 살펴본 적이 있다. 그러나 페어 트레이딩은 상관관계 (Correlation) 보다는 공적분 관계 (Cointegration)에 대한 투자 기법이므로 보다 의미 있는 시뮬레이션을 위해서는 공적분 관계의 시뮬레이션이 요구된다.

공적분 시뮬레이션을 위해서는 아래와 같이 Granger의 Error Correction 모형을 이용할 수 있다. 아래의 식은 시계열 x 와 y 가 공적분 관계에 있을 때의 표현식이다. 이 식을 이용하면 주어진 공적분 계수 (감마)를 갖는 임의의 시계열 x, y를 만들어 볼 수 있다.

공적분 몬테카를로 시뮬레이션의 절차

1. 시뮬레이션의 대상 종목을 선정한 후 두 종목의 역사적 Drift와 변동성을 계산한다. 예를 들어, 삼성전자와 삼성전자 우선주를 대상으로 페어 트레이딩을 할 경우, 삼성전자의 역사적 Drift (성장률)와 변동성을 계산하고 우선주에 대해서도 동일한 계산을 한다. 이것은 미래의 주가를 만들 때 바로 이 역사적 특성을 고려하여 만들어야 하기 때문이다.

2. 공적분 계수를 지정한다. 삼성전자와 삼성전자 우선주의 역사적 공적분 계수가 1.2 라고 가정하고, 향후 두 주가가 공적분 계수 1.2 부근에서 만들어 질 수 있도록 한다.

3. Granger의 Error Correction 표현을 이용하여 시계열 x 와 y 를 생성한다. x 는 삼성전자의 위너 프로세스 (Wx)로 사용하고, y 는 우선주의 위너 프로세스 (Wy)로 사용한다. (균형점으로 회귀하는 속도는 각각 +0.02와 -0.02로 임의 지정하였음.)

x = 셀 B13 = B12 + $B$8 * (C12 – $B$9 * B12) + NORMSINV(RAND())
y = 셀 C13 = C12 + $C$8 * (C12 – $B$9 * B12) + NORMSINV(RAND())

4. 시계열 x 와 y 를 이용하여 삼성전자와 삼성전자 우선주의 가상 수익률을 계산한다. 이 절차는 일반적인 주가의 몬테카를로기법을 그대로 적용한다.

삼성전자의 수익률 (셀 F13) = $B$7 + $B$6 * D13
삼성전자 우선주의 수익률 (셀 G13) = $B$7 + $B$6 * E13

5. 계산된 수익률을 이용하여 가상의 주가를 생성한다.

삼성전자의 주가 (셀 H13) = H12 * (1 + F13)
삼성전자 우선주의 주가 (셀 I13) = I12 * (1 + G13)

아래 결과는 위의 절차로 생성한 향후 두 주가의 모습이다. 두 주가는 공적분 계수가 1.2인 관계를 갖도록 생성된 것이다. 아래 그림의 두 주가는 서로 공적분 관계를 유지하고 있으며 (육안), 페어 스프레드도 균형점으로 회귀하는 성향을 가진 정상 시계열의 모습을 보이고 있다.

위의 실험을 여러 번 반복하면 아래 그림과 같이 여러 형태의 스프레드를 생성해 볼 수 있다. 만약 현재 삼성전자와 삼성전자 우선주에 대해 1 : 1.2의 비율로 롱-숏 포트폴리오를 구축했다면, 정해진 기간 내에 (finite horizon) 스프레드의 변화를 시뮬레이션 해보고, 그 분포를 추정해 보면, 정해진 기간 내에 스프레드가 균형점에 도달할 가능성을 추정해 볼 수 있다 (아래 그림보다는 짧은 기간의 시뮬레이션으로 함. ex : 20일, 40일).

정해진 기간 내에 균형점에 도달할 가능성을 추정할 수 있다는 논리는, 시뮬레이션 결과로 생성된 두 주가의 공적분 계수가 정확히 1.2가 되는 것이 아니기 때문에 가능하다. 시뮬레이션은 확률적 결과이기 때문에 생성된 두 주가의 실제 공적분 계수는 평균이 1.2 인 어떤 분포를 형성한다. 즉, 공적분 계수가 1.2 부근이 될 가능성이 가장 높고, 이 보다 더 높거나 (2.0 정도가 되거나), 낮은 경우도 (0.5 정도 되거나) 충분히 발생할 수 있다. 이것은 향후 두 주가의 공적분 관계는 확률적으로 충분히 깨질 수 있다는 것을 의미하고, 그 정도를 추정해 볼 수 있는 것이다.

향후 공적분 관계가 깨질 수 있다는 것은 페어 트레이딩의 가장 큰 위험 요소에 해당한다. 따라서 공적분 관계의 시뮬레이션을 이용하면 페어 트레이딩의 위험 관리가 가능할 것으로 생각된다. 다음 시간에는 이 시뮬레이션을 반복적으로 수행할 때 공적분 계수가 어떤 분포를 보이고 공적분 관계가 깨질 가능성이 얼마나 되는지에 대해 살펴보기로 한다.

[출처]24. 공적분 몬테카를로 시뮬레이션 (1)|작성자아마퀀트