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[알고리즘 트레이딩/시장미시구조] 19. Kyle 모형 (9) – 다수의 정보기반 거래자 모형(1)
시장미시구조론 (Market Microstructure) – (19)
Kyle 모형 (9) – 다수의 정보기반 거래자 모형(1)
그 동안은 정보기반 거래자가 1명인 Kyle의 모형에 대해 살펴보았다. 즉, 정보기반 거래자가 시장을 독점하는 형태였다. 정보기반 거래자가 1명인 경우는 그가 가지고 있는 정보의 가치를 최대한 높일 수 있다. 그러나 여러 명이 동일 정보를 가지고 있다면 각각이 정보의 가치를 충분히 높일 수 있을까? 개별 정보기반 거래자의 최적 행위가 전체 정보기반 거래자의 효용을 극대화 시킬 수 있는가?
다수의 정보기반 거래자가 존재하면 기본적으로 경쟁 관계를 생각해 보아야 한다. 정보기반 거래자들의 경쟁으로 인해 그들이 가지고 있는 정보의 가치는 줄어들 수밖에 없다. 완전 경쟁이라면 각각이 독점의 경우처럼 주문량을 쏟아낼 것이고, 그들의 정보는 시장에 완전히 노출되어 이익은 감소한다 (완전 경쟁 시장에서의 초과 이익 = 0). 따라서 그들이 가지고 있는 정보의 가치는 없어지고 만다.
완전 경쟁이 아닌 불완전 경쟁이라면, 각 정보기반 거래자는 다른 정보기반 거래자의 행위를 관찰하여 자신의 최적 행위를 결정하게 된다. 즉, 다른 정보기반 거래자의 행위가 나의 결정에 영향을 미치게 된다. 불완전 경쟁을 통해 시장은 균형 상태에 이르게 되는데, 바로 내쉬 균형 (Nash equilibrium)에 이르게 된다. 정보기반 거래자들은 내쉬 균형을 통해 자신의 최적 행위를 결정하고, 그 결과로 얼마만큼의 이득 취할 수 있고, 이 이득이 전체가 불만이 없는 최선의 이득이 된다. 정보기반 거래자들의 행위가 시장에 영향을 미치고, 결국, 시장도 균형 상태에 이르게 된다.
위 그림은 k 명의 정보기반 거래자가 시장에 참여한 경우이다. 여기서는 각 정보기반 거래자가 가지고 있는 정보는 완전한 정보 (Perfect signal)라고 가정한다 (불완전 정보에 대해서는 다음에…). 각 정보기반 거래자는 각자의 이익을 극대화 시키는 최적 주문량 (x1, x2, … xk)을 결정할 것이고, 마켓메이커는 총 주문 수량을 관찰하여 최적 호가를 제출할 것이다.
식 (1)은 시장에 유입된 총 주문량이다. 시장에서는 정보기반 거래자들의 주문 총합과 유동성 거래자의 주문 수량이 합쳐진 w가 관찰될 것이다 (분리해서 관측할 수는 없음). 식 (2)는 마켓메이커가 w를 관찰하여 호가를 결정할 식이다 (기본 모형에서 확장됨). 식 (3)은 정보기반 거래자의 공격성을 통해 본 주문 수량이다. 여기서 각 정보기반 거래자의 공격 성향은 동일한 것으로 가정한다.
식 (4)는 각 정보기반 거래자의 수익 (Profit)이다. 정보기반 거래자들은 식 (4)를 극대화 시키는 주문 수량 (xi)을 결정하는 것이 관건이다. 만약, 자신을 제외한 다른 정보기반 거래자들의 주문 수량이 x* 로 동일하다고 가정하면, Profit은 식 (5)로 쓸 수 있다. 식 (5)의 기대 수익은 식 (6)이 되고, 식 (6)을 극대화 시키면 각 정보기반 거래자의 최적 주문 수량을 산출할 수 있다.
식 (7)은 xi 에 따라 식 (6)을 최적화한 것이고, 결과는 식 (8)과 같이 된다. 식 (8)은 기본 모형 (독점 형태)의 최적 주문 수량보다 감소한다는 것을 말해주고 있다. 내쉬 균형에서는 자신의 주문 수량도 다른 정보기반 거래자의 주문 수량과 동일하므로 식 (8)은 식 (10)이 된다.
식 (10)이 바로 각 정보기반 거래자들의 최적 주문 수량이 되고, 독점 형태의 주문 수량보다 2 / (k+1) 배 만큼 감소한다. 여기서 k = 1 인 경우는 독점 형태의 주문 수량과 일치함을 알 수 있다. 식 (10)과 식 (3)을 이용하면 정보기반 거래자의 공격 성향을 식 (12)와 같이 추출할 수 있다. 정보기반 거래자의 공격 성향도 2 / (k + 1) 배 만큼 감소한다.
이상으로 다수의 정보기반 거래자가 불완전 경쟁을 할 때 최적 주문 수량과 공격 성향에 대해 살펴보았다. 다음 시간에는 마켓메이커의 최적 행위에 대해 분석해 보고, 정보기반 거래자의 최적 주문 수량과 공격 성향에 대해 좀 더 알아보기로 하겠다.
