[금융수학] 21. 합성 옵션의 수익률 계산

금융 수학 (21)

합성 옵션의 수익률 계산

합성 옵션의 수익률을 개별 옵션의 수익률로 표현하면 어떻게 될까? 아래 테이블은 잔존기간이 14일 이고, 행사가격이 265.0인 콜옵션과 행사가격이 267.5인 풋옵션의 가격과 델타이다. 두 옵션을 동시에 매입한 상태에서 기초자산 (S) 가격이 1 포인트 상승한 상황이다. 콜옵션의 수익률은 17.08%이고, 풋옵션의 수익률은 -16.42% 이다. 그리고 합성 옵션 (C+P)의 수익률은 3.15% 이다.

일반 주식의 경우, 포트폴리오 이론에서 포트폴리오의 수익률은 각 개별 주식 수익률의 가중평균으로 계산하였다 (rp = w1*r1 + w2*r2). 이와 같은 방법으로 C+P의 수익률을 계산해 보면 17.08% – 16.42% = 0.66% 가 나온다 (1계약 씩 매입). 그러나 실제 C+P의 수익률은 3.15% 이다. 합성 옵션의 경우에는 개별 옵션의 기초자산에 대한 민감도인 델타가 다르므로, 가중평균으로 수익률을 계산할 수 없다.

개별 옵션이 식 (1)과 같이 변화한다면, 개별 옵션의 수익률은 식 (2)로 나타낼 수 있다.  S가 1단위 변할 때 C의 변화가 델타이므로 S가 델타S 만큼 변하면 식 (2)와 같이 쓸 수 있다 (단, 델타S 는 S의 변화량을 의미하고, 델타(첨자 c)는 콜옵션의 델타값을 의미한다). 그러면 합성 옵션 C+P의 수익률은 식 (5)와 같이 개별 옵션의 수익률로 표시할 수 있다. 포트폴리오 이론의 수익률과 같이 개별 종목의 선형 조합으로 표시되는 것이 아니라, 개별 옵션의 가격에 따라 합성 옵션의 수익률이 변하는 형태로 되어 있다. 이것은 옵션의 수익곡선이 선형이 아닌 곡선 형태이기 때문이다. 식 (5)를 이용하여 위 테이블의 C+P의 수익률을 계산해 보면 정확히 3.15% 가 나온다.

식 (5)에 델타 헤지를 하면 C를 1계약 매입하고, P를 헤지 비율만큼 매입하는 것 이므로 식 (7)과 같이 된다.

이번에는 합성 옵션의 수익률을 옵션의 베타를 이용하여 개별 옵션의 수익률로 나타내 보자. 옵션의 베타는 기초자산의 수익률에 대한 베타로, 옵션의 레버리지 효과로 인해 베타가 크게 나타난다.

합성 옵션의 수익률을 식 (8)로 표시해 본다. 여기서 Ws는 가중치이지만 일정한 상수가 아니라 기초자산 (S) 변화에 따른 변수가 된다. 이와 동일하게 Ws를 이용하면 합성 옵션의 기초자산에 대한 베타도 식 (9)와 같이 쓸 수 있다. 그러면 합성 옵션의 수익률을 식 (11)과 같이 개별 옵션의 베타로 표시할 수 있다. 식 (11)의 개별 옵션에는 합성 옵션의 베타가 포함되어 있지만, 델타 헤지를 할 경우에는 합성 베타도 0 이 되므로, 합성 옵션의 베타가 없어지게 된다.

식 (11)에서 델타 헤지를 하면 델타 중립 (Delta Neutral)이 되고, 합성 옵션의 베타도 S의 영향을 받지 않으므로 0 이 되어, 베타 중립 (Beta Neutral)이 된다. 그리고 개별 옵션의 베타는 식 (12)로 표현할 수 있으므로, 식 (11)에 식 (12)를 대입하면, 식 (13)을 얻을 수 있다. 식 (13)은 위에서 계산한 식 (7)과 잘 일치한다 (식 (12)는 주-1 참조).

아래 그림은 CAPM 에서 다루는 시장수익률과 포트폴리오의 수익률 관계와, 포트폴리오 베타와 수익률 관계를 그려본 것이다. 큰 의미가 있을지는 모르겠지만, 참고삼아 그려 보았다. 데이터는 몬테카를로 시뮬레이션으로 기초자산의 가격을 변화 시키면서, 콜옵션과 풋옵션의 이론가를 계산하여 산정한 수익률과 베타이다. 시장수익률은 기초자산 가격의 수익률로 하였다. 시장수익률이 높거나 낮을수록 변동성이 큰 것이므로 C+P 는 수익이 나고, 시장수익률이 0에 가까울수록 합성 옵션의 시간가치 하락으로 인해 손실이 발생하는 모습이다. 오른쪽 그림도 합성 베타가 크거나 작으면 수익이 발생하는 모습이다.

주-1)

식 (12)는 아래와 같이 유도된다. 아래 첫 번째 두 식은 이토의 정리로부터 얻은 식이고 이식들을 아래와 같이 풀어 가면, 식 (12)를 얻을 수 있다. 아래 식의 베타s 앞에 있는 계수는 기초자산 가격에 대한 콜옵션 가격의 탄력성 (elasticity)으로 해석한다.  옵션의 베타는 기초자산의 베타에 이 계수를 곱한 만큼 크게 된다.

[출처]21. 합성 옵션의 수익률 계산|작성자아마퀀트