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[페어 트레이딩/고급편] 9. Cointegration 계수의 최적화 알고리즘
페어트레이딩 (Pairs Trading) – 고급(9)
Cointegration 계수의 최적화 알고리즘
페어트레이딩의 스프레드는 두 주식 가격의 선형관계 (Linear Combination)를 이용하여 정상 시계열을 만든 것이다. 선형관계에 이용된 선형계수 (Cointegration Coefficient : CC)에 따라 스프레드의 특성이 달라지고, 선형계수는 헤지 비율과 상관이 있다. 따라서 헤지 비율에 따라서 스프레드가 달라지는 것이다. 이것이 페어트레이딩이 가지는 커다란 묘미이다. 그러면 가장 효율적인 헤지 비율을 결정하는 문제에 대해 당연히 생각해 보게 된다.
아래 그림은 한화케미칼과 케이피케미칼의 600일 간의 스프레드 차트이다. 왼쪽의 [가]는 CC=0.7을 적용했을 때의 차트이고, 오른쪽의 [나]는 CC=1.0을 적용했을 때의 차트이다. 육안으로 봐도 그림[나]의 스프레드가 훨씬 정상적이며, 페어트레이딩에 유리한 것임을 알 수 있다. CC에 따라 스프레드의 정상성이 달라지므로, 정상성이 가장 좋은 CC를 선택해야 할 것이다.
아래 그림의 왼쪽은 스프레드를 계산한 시트이고, 오른쪽은 이전 포스트에서 사용한 ADF 검정용 시트이다. 두 엑셀 파일을 연동하여 CC값을 변화시켜 가면서 ADF 검정 통계량인 p-value 값의 변화를 관찰한다. p-value 값이 가장 작아지는 CC를 찾아내면 이 값이 바로 최적화된 CC* 값이 된다. 또한 ADF 검정값을 계산하기가 번거로우므로 p-value의 대용치로 스프레드의 자기상관계수를 사용할 수 있을지 확인하기 위해 자기상관계수도 같이 계산해 보았다.
위의 그림과 같이 두 엑셀 파일을 연동한다 (별도의 설명이 없어도 이해하실 것으로 생각하여 상세설명은 생략하였습니다). CC 값을 0.1 ~ 2.0 까지 0.1 씩 증가시켜 가면서, 우측 파일의 열(H)에 CC값을 기록하고, 열(I)에는 유의 확률인(p-value)를, 열(J)에는 자기상관계수를 기록해 나간다 (VBA를 이용해서 자동화도 가능하다). 자기상관계수는 아래의 식으로 계산하였다.
* 스프레드의 자기상관계수 = S(t)*S(t-1)의 합 / S(t-1)의 제곱 합
S(t) : t 시점의 스프레드
S(t-1) : t-1 시점의 스프레드
단, 스프레드의 평균은 항상 0임
계산이 끝난 후 열(H)-열(I)와 열(H)-열(J)를 각각 그래프로 그려보면 아래와 같이 된다. 왼쪽의 [가]는 CC와 ADF 검정 유의확률과의 관계이고, 오른쪽의 [나]는 CC와 자기상관계수의 관계이다. 두 결과가 모두 유사한 특성을 보이고 있고, 모두 CC=1.0 일 때 가장 작은 값을 보이고 있다. 즉, CC=1.0일 때 유의 확률이 가장 낮아지고, 자기상관계수도 가장 낮아진다. 유의 확률이 낮아진다는 것은 정상성이 가장 좋은 상태를 나타내는 것이고, 자기상관계수가 낮다는 것은 스프레드가 이전 상태에 대해 종속성이 약화되는 것으로, 이것 역시 정상성과 관계가 있다. 즉, CC*를 결정하기 위해서는 ADF 검정값 대신 스프레드의 자기상관계수를 이용할 수 있다.
위의 실험 결과로 아래와 같은 사실을 알 수 있다.
1. CC를 변화해 가면서 가장 최적화된 CC*를 결정할 수 있다.
2. ADF 검정값 대신 스프레드의 자기상관계수를 이용할 수 있다.
결론적으로 한화케미칼과 케이피케미칼의 경우 CC* = 1.0으로 할 때 (헤지 비율을 1:1로 할 때), 스프레드의 정상성이 가장 좋아지고, 위험이 줄어든다는 사실을 알 수 있다. 또한 스프레드의 자기상관계수를 활용할 수 있으므로, 자기상관계수로 CC*를 결정할 수 있다.
======== 2012.9.1 Update ======= AR(1) 모형을 이용한 DF 검정은 AR(1)의 자기상관계수를 추정량으로 사용한다. 반면에 확대된 DF 검정은 (ADF) AR(p)나 ARMA(p,q) 모형으로 확대하여 검정한다. 여기서는 간단히 AR(1) 모형을 적용시켜, 자기상관계수로 CC를 추정하는 것으로 하였다. 이렇게 하면 엑셀에서 간편하게 CC를 추정할 수 있다. 원리는, 임의의 CC 값으로 자기상관계수가 최소가되도록 엑셀의 “해찾기 (Solver)” 기능을 사용하여 CC를 계산하면 된다 (향후 포스트에 기록 예정임.)
======== 2012.12.11 Update =====
참고 : 17. 공적분 계수 추정 방법 – 엑셀의 수치해석 도구인 “해찾기”를 이용한 CC 추정
18. 공통추세 모형 – 공적분 계수 추정에 대한 이론적 근거 (1)
19. AR(1) 모형 (Autoregressive) – 공적분 계수 추정에 대한 이론적 근거 (2)
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참고로 기초편 9. 엑셀 실습(2)-로그스프레드 [주-1]의 현대모비스-한라공조 페어에서는 CC* = 1.30 일 때 자기상관계수가 최소가 되었었다.
