[금융수학] 30. KOSPI200과 VKOSPI의 관계

금융 수학 (30)

KOSPI200 지수와 VKOSPI의 관계

그 동안 약 6편의 포스트를 통해 변동성 지수 (VIX, VKOSPI) 공식의 유도 과정과, (엑셀에서) 실제로 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 이번 시간에는 VKOSPI와 KOSPI200 지수의 관계에 대해 알아보기로 한다. KOSPI200 지수로부터 지수 옵션이 파생되고, 파생된 옵션의 시장가로부터 VKOSPI를 산출한 것이므로 둘은 서로 밀접한 관계가 있을 수밖에 없다. KOSPI200 지수가 상승하면 옵션의 시장가는 상승할 것이다. 옵션의 시장가가 상승하면 VKOSPI도 같이 상승할까? 아니면 하락할까? 또한, KOSPI200 지수가 1% 상승할 때와 1% 하락할 때, VKOSPI는 같은 비율로 변화할까?

아래 그림은 2009.6.15 ~ 2013.1.18 (900일 간) 동안 KOSPI200 지수와 VKOSPI의 관계를 비교한 것이다. 몇 가지 눈에 띠는 기본적인 관계에 대해 간략히 살펴본다.

1. KOSPI200 지수는 Random Walk의 특성이 나타나는 반면(비정상 시계열), VKOSPI는 평균회귀 (Mean reverting) 특성이 나타난다 (정상 시계열). 그리고 VKOSPI는 상승할 때는 급상승하고, 하락할 때는 서서히 하락하는 경향을 보인다.

2. 둘 간의 상관관계는 음의 상관관계를 나타낸다. KOSPI200 지수와 VKOSPI 차트를 보면 위의 그림과 같이 서로 반대로 움직이는 것을 알 수 있다. KOSPI200 지수가 상승할 때 VKOSPI는 하락하고, 반대로 지수가 하락할 때는 VKOSPI가 상승한다. 수익률 상관계수는 (셀 G7) 약 -0.7로 음의 상관관계를 나타낸다 (상관 관계가 매우 크다고 할 수는 없다). 결정계수는 약 50% (0.7*0.7)로 KOSPI200 지수의 변화율 (수익률)로 VKOSP의 변화율을 설명하는 능력은 약 50% 정도가 된다 (대단히 높은 편은 아니다).

KOSPI200 지수와 VKOSPI 변화율의 산포도를 보면 음의 상관관계가 보이며, 기울기가 상당히 크다는 것을 알 수 있다. 이것은 KOSPI200 지수가 약간만 변해도 VKOSPI는 큰 폭으로 변할 수 있다는 것을 의미한다.

3. KOSPI200 지수의 변동성은 20.40% (셀 M10, 연간 단위)인 반면, VKOSPI의 변동성은 84.95% (셀 N10, 연간 단위)로, VKOSPI의 변동성이 약 4배가량 높다. 즉, KOSPI200 자체의 변동성보다, KOSPI200의 변동성의 변동성이 약 4배 정도 크다. KOSPI200에 대한 VKOSPI의 베타를 계산해 보면 약 -3.07이 나온다 (셀 G6). 이것은 KOSPI200이 1% 변할 때 VKOSPI는 약 3.07% 변한다는 것을 의미한다 (KOSPI200 상승시와 하락시가 다르다).

4. KOSPI200 지수가 1% 상승할 때, VKOSPI는 평균적으로 -2.76% 하락하였고 (셀 N4), 지수가 1% 하락할 때는 VKOSPI가 약 3.35% 상승하였다. 즉, KOSPI200이 상승할 때의 VKOSPI 하락폭 보다, KOSPI200이 하락할 때 VKOSPI의 상승폭이 더 크게 나타났다. 이 계산은 KOSPI200 지수의 수익률을 상승했을 때와 하락했을 때로 분리한 후 (열 H, J), VKOSPI의 변화 (열 I, K)를 측정한 것이다. KOSPI200 지수가 약간 변할 때는 효과가 잘 나타나지 않으므로, 1.00% 이상 변했을 때만 측정하였다.

아래 그림은 VKOSPI의 변화율 (수익률)의 분포를 그려본 것이다. KOSPI200의 수익률 분포는 정규분포보다 첨도가 높고, Fat tail 현상이 나타나는 것으로 알려져 있다. 마찬가지로 VKOSPI도 정규분포에 비해 첨도가 매우 높게 나타난다. 그리고 좌측 분포에 비해 우측 분포에서 Fat tail 현상이 크게 보이고 있다. 이것은 VKOSPI가 크게 하락할 경우 보다는, 크게 상승할 경우가 많다는 것을 의미한다. 분포의 평균은 -0.08%, 일일 표준편차는 5.35% 였다.

이번에는 KOSPI200 지수가 상승할 때와 하락할 때, VKOSPI의 변화폭이 다르다는 특성을 만족하도록 만든 모형에 대해 알아보자. 아래 식은 2008, Robert E. Whaley 가 이 특성을 설명하기 위해 만든 VIX의 회귀식이다 (자료 : Understanding VIX). Whaley는 아래 회귀식을 통해, 파라메터 α,β,γ를 추정하여, S&P500 지수의 변화에 대한 VIX의 변화를 설명하였다. 아래 식을 VKOSPI에 적용해 보자.

아래 그림은 위의 회귀식에서 각 파라메터를 추정한 결과이다. 회귀식으로 Rv를 만든 후 Rv와 실제 VKOSPI와의 오차가 최소가 되도록 α,β,γ를 결정하였다 (엑셀의 해찾기 기능 활용).

* 추정 결과 : Rv = -0.0058 – 2.3782 * Rk – 1.3177 * Rk(-)

이 식에 의하면 KOSPI200 (Rk)이 1% 상승하면 VKOSPI (Rv)는 -2.96% 하락한다 (Rv = -0.0058 – 2.3783 * 0.01 = 2.96%). 반면에 KOSPI200 (Rk)이 1% 하락하면 VKOSPI (Rv)는 3.12% 상승한다 (Rv = -0.0058 – 2.3783 * (-0.01) – 1.3177 * (-0.01) = 3.12%). 그런대로 KOSPI200의 변화에 대한 VKOSPI 변화율이 잘 설명된다.

Whaley의 자료에 의하면 S&P 500이 1% 상승할 때 VIX는 2.99% 하락하였고, S&P 500이 1% 하락할 때 VIX는 4.49% 상승하였다. KOSPI200 보다 비대칭 정도가 크게 나타나 보이지만, 분석 기간이 길고, 2008년 금융위기 같은 큰 변화가 포함되었기 때문인 것을 보인다.

이상으로 KOSPI200과 VKOSPI와의 관계에 대해 간략히 알아보았다. 다음 시간에는 VKOSPI를 기초자산으로 하는 파생상품에는 어떤 특징이 나타나는지에 대해 알아보기로 한다.

[출처]30. KOSPI200과 VKOSPI의 관계|작성자아마퀀트