[금융수학] 29. VIX (VKOSPI) 공식의 유도 과정

금융 수학 (29) VIX (VKOSPI) 공식의 유도 과정 지난 두 편의 포스트에서 살펴본 로그 계약 (The Log Contract)과 일반화된 Pay Off 함수식을 이용하면 VIX 공식을 유도해 볼 수 있다. 유도 과정이 다소 복잡하긴 하지만, 무리한 가정이나 새로운 이론의 도입이 없어 비교적 순조롭게 진행할 수 있다. 아래 식 (1)과 (2)는 일반적인 기하브라운운동에 의한 주가의 모형이다. 금융수학의 앞부분에서는 이 […]

금융 수학 (28) 일반화된 Payoff 함수 지난 시간에는 로그 계약 (The Log Contract)의 개념을 통해 변동성을 거래할 수 있다는 개념과, 그 손익관계 (Pay Off)에 대해 살펴보았었다. 이번 시간에는 옵션으로 로그 계약을 복제할 수 있도록 연결 고리를 만들어 주는 Pay Off 함수에 대해 알아본다. 아래 식은 일반화된 (Generalized) Pay Off의 관계식이다. 좌변을 임의의 포트폴리오에 대한 Pay Off라 […]

금융 수학 (27) VKOSPI 계산의 질문에 대한 답변 어는 분이 실시간 VKOSPI 계산 과정에서 발견된 특이사항에 대한 질문을 주셨습니다. 질문 내용이 너무 중요한 것 같아 포스트를 통해 답변을 공유합니다. 질문내용 : 1. VKOSPI 계산 공식에서 K0 를 선택하는 데 문제가 발생함. 2. (C – P) 의 절대값이 최소가 되는 K 를 선정하여 F를 계산하였음. 3. […]

금융 수학 (26) 로그 계약 (The Log Contract) 이번 시간에는 변동성 (Volatility)과 관련된 아주 흥미로운 식을 도출해 본다. 주가의 수익률에는 일반적인 수익률과 로그 수익률이 있다. 주식을 매수하면 일반적인 수익률에 따라 손익이 결정된다. 그러나 금융공학에서는 많은 이점 때문에 로그 수익률을 사용하며, 일반적인 수익률과는 약간의 차이가 발생한다. 만약, 로그 주가가 거래되는 시장이 있다고 가정해 보자. 그리고 투자자가 […]

금융 수학 (25) VKOSPI (VIX) 엑셀 계산 이전 포스트에서 살펴본 변동성 지수(VIX)를 엑셀에서 실제로 계산해 보자. 우리나라에서 사용하는 VKOSPI도 동일한 방식으로 계산되므로, 이 방식으로 VKOSPI를 직접 계산해서 사용할 수 있다. KRX에서 30초 마다 발표하는 VKOSPI200 지수는 향후 30일간 예상되는 변동성을 연단위로 표시한 것이다. 알고리즘이나 시스템트레이딩에서는 매초 마다 VKOSPI를 계산할 수도 있고, 30일간의 변동성이 아닌 현재의 […]

금융 수학 (24) 변동성 지수 (Volatility Index : VIX) 이전 포스트에서는 내재변동성 (Implied Volatility)이 행사가격별로 각각 다르게 측정되는 현상에 대해 살펴보았다. 이제는 여러 개로 측정되는 내재변동성 중에 어느 것을 적절한 변동성으로 인정해야할지를 고민해야 한다. 이 문제를 해결하기 위해서는 여러 개의 변동성을 적절히 조합하여 변동성을 대표할 수 있는 하나의 지수를 만들어야 한다. 이것이 바로 변동성 지수 (Volatility Index […]

금융 수학 (23) 변동성 미소 (Volatility Smile) 이전 포스트에서는 옵션의 시장가격을 이용하여 내재변동성 (Implied Volatility)을 구해 보았다. 그런데 행사가격이 다른 옵션들로 내재변동성을 계산해 보면 서로 다른 값들이 나온다. 또한 동일 행사가격이라도 기간을 달리하면 내재변동성이 달라진다. 이런 현상을 변동성 미소 (Volatility Smile or Skew) 현상과 변동성 기간구조 (Volatility Term Structure) 라고 한다. 아래 그림은 2012.4.27일 데이터로 행사가격별로 내재변동성을 […]

금융 수학 (22) 옵션의 내재변동성 (Implied Volatility) 옵션의 가격은 기초자산, 변동성, 잔존기간, 행사가격, 무위험 수익률에 따라 결정된다. 이 중 변동성은 기초자산의 역사적변동성 (HV)을 이용하여, 옵션의 이론가를 산출한다. 기초자산의 HV는 보통 최근 90일 간 측정된 표준편차를 사용하는데, 이 값이 현재부터 옵션 만기까지 기초자산의 변동성을 대표한다고 보는 것은 사실상 무리가 있다. HV로 추정한 변동성도 무리가 있지만, HV가 […]

금융 수학 (21) 합성 옵션의 수익률 계산 합성 옵션의 수익률을 개별 옵션의 수익률로 표현하면 어떻게 될까? 아래 테이블은 잔존기간이 14일 이고, 행사가격이 265.0인 콜옵션과 행사가격이 267.5인 풋옵션의 가격과 델타이다. 두 옵션을 동시에 매입한 상태에서 기초자산 (S) 가격이 1 포인트 상승한 상황이다. 콜옵션의 수익률은 17.08%이고, 풋옵션의 수익률은 -16.42% 이다. 그리고 합성 옵션 (C+P)의 수익률은 3.15% 이다. […]

금융 수학 (20) 옵션과 민감도 간의 상호 관계 옵션과 민감도들의 관계를 이용하면, 민감도의 움직임에 따라 옵션의 가격을 표현할 수 있고, 합성 옵션으로 구성된 포트폴리오의 특성을 쉽게 파악해볼 수 있다. 그동안 살펴본 옵션의 민감도들을 정리해 보면 식 (1) ~ 식 (4)와 같다. (1)은 델타, (2)는 세타, (3)은 감마 그리고 (4)는 베가를 의미한다. 위의 식을 이용하여 다시 […]