[금융수학] 19. 옵션의 기대손익을 통한 이론가 계산

금융 수학 (19) 옵션의 기대손익을 통한 이론가 계산 콜옵션을 1계약 매입하면 기대할 수 있는 기대수익은 얼마가 될까? 만기 시 기대수익을 현재가치로 환산한 것이 계약 당시 지불한 콜옵션의 프리미엄과 정확히 일치하고, 이 프리미엄이 콜옵션의 가격이 된다. 따라서 현재 콜옵션의 가격이 향후 기대할 수 있는 기대수익이 되는 것이다. 사실 블랙숄즈 옵션가격 공식을 유도할 때 이미 이 관계가 […]

금융 수학 (18) 옵션의 행사가 민감도 및 SPD 공식유도 (Greeks : 행사가 민감도) 행사가 민감도는 행사가격 변화에 따른 옵션가격의 변화량으로, 옵션가격을 행사가격으로 편미분한 값이다. 행사가격이 1 단위 변할 때 옵션의 가격은 얼마큼 변하는가를 나타낸다. 행사가격이 증가할수록 옵션이 행사될 가능성이 낮아지므로 옵션가격은 하락하게 된다. 아래 그림은 엑셀에서, 콜옵션의 행사가격이 220.0 ~ 300.0 까지 변할 때, 행사가격별 […]

금융 수학 (17) 옵션의 베가 엑셀계산 및 공식 유도과정 (Greeks : Vega) 옵션의 베가 (Vega)는 기초자산의 변동성 변화에 따른 옵션가격의 변화량으로, 옵션가격을 변동성으로 편미분한 값이다. 즉 기초자산의 변동성이 1% 변할 때 옵션의 가격은 얼마큼 변하는가를 나타낸다. 기초자산의 변동성이 증가하면 옵션이 행사될 기대가 높아지므로 옵션의 가격은 상승하게 된다. 아래 그림은 엑셀에서, 기초자산의 가격이 240.0 ~ 300.0 […]

금융 수학 (16) 옵션의 감마 엑셀계산 및 공식 유도과정 (Greeks : Gamma) 옵션의 감마 (Gamma)는 기초자산 가격의 변화에 따른 델타의 변화량이다. 델타는 옵션가격의 기울기로 기초자산 가격이 변함에 따라 달라진다. 기초자산 가격이 증가함에 따라 콜옵션의 델타는 증가하는데, 감마는 델타의 증가 속도를 의미한다. 아래 그림은 엑셀에서, 기초자산의 가격이 240.0 ~ 300.0 까지 변할 때, 콜옵션의 가격과 감마값을 계산해 본 […]

금융 수학 (15) 옵션의 시간가치 엑셀계산 및 세타 공식 유도과정 (Greeks : Theta) 옵션의 세타 (Theta)는 시간의 변화 (잔존기간)에 따른 옵션가격의 변화량으로, 시간이 1단위 증가했을 때 경과했을 때 옵션의 가격은 얼마나 변화하는가를 나타내는 척도이다. 이 변화량을 시간가치라 하고 시간이 증가할수록 시간가치가 감소하기 때문에 옵션의 가치도 감소한다. 아래 그림은 블랙숄즈 공식의 활용 (엑셀계산)편에서 계산해본 콜옵션의 가격변화 그래프에 시간가치 (세타) […]

금융 수학 (14) 금융수학 – 옵션의 델타 공식 유도과정 (Greeks : Delta) 옵션의 델타 (Delta)는 기초자산(S)의 가격변화에 대한 옵션가격의 변화량을 말한다. 옵션 가격의 민감도라고도 한다. 다시 말하면 기초자산 가격이 1 만큼 증가하였을 때 옵션의 가격은 얼마나 변화하는가를 나타내는 척도이다. 아래 그림은 블랙숄즈 공식의 활용편에서 계산해본 콜옵션의 가격변화 그래프이다. 옵션의 델타는 그림과 같이 옵션가격 그래프의 기울기로 해석된다. […]

금융 수학 (13) 금융수학 – 블랙숄즈 옵션공식의 미분 방법 옵션의 전략 개발을 위해 수리적 모형을 만들거나, Greeks에 대한 식을 만들 때 등 블랙숄즈 공식을 미분해야할 경우가 많이 있다. Greeks의 경우에는 일반 옵션 투자자들도 기본적으로 많이 알고 있는 사항이다. 공식 자체는 잘 모를 수 있으나 그 의미와 활용에 대해서는 전문가 수준으로 많이 알고 있다. 여기서는 이러한 […]

금융 수학 (12) 금융수학 – 블랙숄즈 옵션공식의 유도(마팅게일) 그 동안 살펴본 기하 브라운 운동 (Geometric Brownian Motion), 위험중립확률 (Risk Neutral Probability), 마팅게일 (Martingale)의 성질을 이용하면 블랙숄즈의 옵션공식을 간단히 유도해 볼 수 있다. 이전에 4편의 포스트를 통해 상당히 복잡한 과정으로 블랙숄즈 옵션공식을 편미분방정식 (PDE)을 이용하여 유도해 보았었다. 이번에는 위험중립확률과 마팅게일 성질을 이용한 방법으로 유도해 보겠다. 상당히 간편한 방법임을 알 수 있다. 아래 […]

금융 수학 (11) 금융공학 – 마팅게일 (Martingale) 이전 포스트에서는 위험중립확률을 통한 게임의 공정성에 대해 알아보았다. 게임 혹은 금융에서 공정성이라고 하는 것은 대단히 중요한 개념이다. 금융시장이 불공정해진다면 시장 참여자들이 줄어들 것이고, 시장은 존재하기 어렵게 된다. 시장은 다수의 참여자에 의해 스스로 공정성을 유지하는 힘을 가지고 있다. 시장의 공정성에 대해서는 위험중립확률 (Risk Neutral Probability), 효율적시장가설 (EMH : Effective Market Hypothesis) 등으로 […]

금융 수학 (10) 금융수학 – 위험중립확률 (Risk Neutral Probability) 위험중립확률은 게임이 공정하게 되기 위한 조건의 확률을 말한다. 위험중립확률은 재무관리 (Financial Management)에서는 옵션 가격결정 모형 중 이항 모형 (C-R 모형)에서 주로 사용되며, 금융공학 (Financial Engineering)에서는 마팅게일 (Martingale)이라는 성질과 더불어 대단히 중요한 개념으로 사용된다. 위험중립확률에 대해 간단히 개념을 잡기위해 아래와 같은 3가지 게임을 생각해 보자. 그림 (가)는 […]