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금융 수학 (23) 변동성 미소 (Volatility Smile) 이전 포스트에서는 옵션의 시장가격을 이용하여 내재변동성 (Implied Volatility)을 구해 보았다. 그런데 행사가격이 다른 옵션들로 내재변동성을 계산해 보면 서로 다른 값들이 나온다. 또한 동일 행사가격이라도 기간을 달리하면 내재변동성이 달라진다. 이런 현상을 변동성 미소 (Volatility Smile or Skew) 현상과 변동성 기간구조 (Volatility Term Structure) 라고 한다. 아래 그림은 2012.4.27일 데이터로 행사가격별로 내재변동성을 […]

금융 수학 (22) 옵션의 내재변동성 (Implied Volatility) 옵션의 가격은 기초자산, 변동성, 잔존기간, 행사가격, 무위험 수익률에 따라 결정된다. 이 중 변동성은 기초자산의 역사적변동성 (HV)을 이용하여, 옵션의 이론가를 산출한다. 기초자산의 HV는 보통 최근 90일 간 측정된 표준편차를 사용하는데, 이 값이 현재부터 옵션 만기까지 기초자산의 변동성을 대표한다고 보는 것은 사실상 무리가 있다. HV로 추정한 변동성도 무리가 있지만, HV가 […]

금융 수학 (21) 합성 옵션의 수익률 계산 합성 옵션의 수익률을 개별 옵션의 수익률로 표현하면 어떻게 될까? 아래 테이블은 잔존기간이 14일 이고, 행사가격이 265.0인 콜옵션과 행사가격이 267.5인 풋옵션의 가격과 델타이다. 두 옵션을 동시에 매입한 상태에서 기초자산 (S) 가격이 1 포인트 상승한 상황이다. 콜옵션의 수익률은 17.08%이고, 풋옵션의 수익률은 -16.42% 이다. 그리고 합성 옵션 (C+P)의 수익률은 3.15% 이다. […]

금융 수학 (20) 옵션과 민감도 간의 상호 관계 옵션과 민감도들의 관계를 이용하면, 민감도의 움직임에 따라 옵션의 가격을 표현할 수 있고, 합성 옵션으로 구성된 포트폴리오의 특성을 쉽게 파악해볼 수 있다. 그동안 살펴본 옵션의 민감도들을 정리해 보면 식 (1) ~ 식 (4)와 같다. (1)은 델타, (2)는 세타, (3)은 감마 그리고 (4)는 베가를 의미한다. 위의 식을 이용하여 다시 […]

금융 수학 (19) 옵션의 기대손익을 통한 이론가 계산 콜옵션을 1계약 매입하면 기대할 수 있는 기대수익은 얼마가 될까? 만기 시 기대수익을 현재가치로 환산한 것이 계약 당시 지불한 콜옵션의 프리미엄과 정확히 일치하고, 이 프리미엄이 콜옵션의 가격이 된다. 따라서 현재 콜옵션의 가격이 향후 기대할 수 있는 기대수익이 되는 것이다. 사실 블랙숄즈 옵션가격 공식을 유도할 때 이미 이 관계가 […]

금융 수학 (18) 옵션의 행사가 민감도 및 SPD 공식유도 (Greeks : 행사가 민감도) 행사가 민감도는 행사가격 변화에 따른 옵션가격의 변화량으로, 옵션가격을 행사가격으로 편미분한 값이다. 행사가격이 1 단위 변할 때 옵션의 가격은 얼마큼 변하는가를 나타낸다. 행사가격이 증가할수록 옵션이 행사될 가능성이 낮아지므로 옵션가격은 하락하게 된다. 아래 그림은 엑셀에서, 콜옵션의 행사가격이 220.0 ~ 300.0 까지 변할 때, 행사가격별 […]

금융 수학 (17) 옵션의 베가 엑셀계산 및 공식 유도과정 (Greeks : Vega) 옵션의 베가 (Vega)는 기초자산의 변동성 변화에 따른 옵션가격의 변화량으로, 옵션가격을 변동성으로 편미분한 값이다. 즉 기초자산의 변동성이 1% 변할 때 옵션의 가격은 얼마큼 변하는가를 나타낸다. 기초자산의 변동성이 증가하면 옵션이 행사될 기대가 높아지므로 옵션의 가격은 상승하게 된다. 아래 그림은 엑셀에서, 기초자산의 가격이 240.0 ~ 300.0 […]

금융 수학 (16) 옵션의 감마 엑셀계산 및 공식 유도과정 (Greeks : Gamma) 옵션의 감마 (Gamma)는 기초자산 가격의 변화에 따른 델타의 변화량이다. 델타는 옵션가격의 기울기로 기초자산 가격이 변함에 따라 달라진다. 기초자산 가격이 증가함에 따라 콜옵션의 델타는 증가하는데, 감마는 델타의 증가 속도를 의미한다. 아래 그림은 엑셀에서, 기초자산의 가격이 240.0 ~ 300.0 까지 변할 때, 콜옵션의 가격과 감마값을 계산해 본 […]

금융 수학 (15) 옵션의 시간가치 엑셀계산 및 세타 공식 유도과정 (Greeks : Theta) 옵션의 세타 (Theta)는 시간의 변화 (잔존기간)에 따른 옵션가격의 변화량으로, 시간이 1단위 증가했을 때 경과했을 때 옵션의 가격은 얼마나 변화하는가를 나타내는 척도이다. 이 변화량을 시간가치라 하고 시간이 증가할수록 시간가치가 감소하기 때문에 옵션의 가치도 감소한다. 아래 그림은 블랙숄즈 공식의 활용 (엑셀계산)편에서 계산해본 콜옵션의 가격변화 그래프에 시간가치 (세타) […]

금융 수학 (14) 금융수학 – 옵션의 델타 공식 유도과정 (Greeks : Delta) 옵션의 델타 (Delta)는 기초자산(S)의 가격변화에 대한 옵션가격의 변화량을 말한다. 옵션 가격의 민감도라고도 한다. 다시 말하면 기초자산 가격이 1 만큼 증가하였을 때 옵션의 가격은 얼마나 변화하는가를 나타내는 척도이다. 아래 그림은 블랙숄즈 공식의 활용편에서 계산해본 콜옵션의 가격변화 그래프이다. 옵션의 델타는 그림과 같이 옵션가격 그래프의 기울기로 해석된다. […]