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금융 수학 (13) 금융수학 – 블랙숄즈 옵션공식의 미분 방법 옵션의 전략 개발을 위해 수리적 모형을 만들거나, Greeks에 대한 식을 만들 때 등 블랙숄즈 공식을 미분해야할 경우가 많이 있다. Greeks의 경우에는 일반 옵션 투자자들도 기본적으로 많이 알고 있는 사항이다. 공식 자체는 잘 모를 수 있으나 그 의미와 활용에 대해서는 전문가 수준으로 많이 알고 있다. 여기서는 이러한 […]

금융 수학 (12) 금융수학 – 블랙숄즈 옵션공식의 유도(마팅게일) 그 동안 살펴본 기하 브라운 운동 (Geometric Brownian Motion), 위험중립확률 (Risk Neutral Probability), 마팅게일 (Martingale)의 성질을 이용하면 블랙숄즈의 옵션공식을 간단히 유도해 볼 수 있다. 이전에 4편의 포스트를 통해 상당히 복잡한 과정으로 블랙숄즈 옵션공식을 편미분방정식 (PDE)을 이용하여 유도해 보았었다. 이번에는 위험중립확률과 마팅게일 성질을 이용한 방법으로 유도해 보겠다. 상당히 간편한 방법임을 알 수 있다. 아래 […]

금융 수학 (11) 금융공학 – 마팅게일 (Martingale) 이전 포스트에서는 위험중립확률을 통한 게임의 공정성에 대해 알아보았다. 게임 혹은 금융에서 공정성이라고 하는 것은 대단히 중요한 개념이다. 금융시장이 불공정해진다면 시장 참여자들이 줄어들 것이고, 시장은 존재하기 어렵게 된다. 시장은 다수의 참여자에 의해 스스로 공정성을 유지하는 힘을 가지고 있다. 시장의 공정성에 대해서는 위험중립확률 (Risk Neutral Probability), 효율적시장가설 (EMH : Effective Market Hypothesis) 등으로 […]

금융 수학 (10) 금융수학 – 위험중립확률 (Risk Neutral Probability) 위험중립확률은 게임이 공정하게 되기 위한 조건의 확률을 말한다. 위험중립확률은 재무관리 (Financial Management)에서는 옵션 가격결정 모형 중 이항 모형 (C-R 모형)에서 주로 사용되며, 금융공학 (Financial Engineering)에서는 마팅게일 (Martingale)이라는 성질과 더불어 대단히 중요한 개념으로 사용된다. 위험중립확률에 대해 간단히 개념을 잡기위해 아래와 같은 3가지 게임을 생각해 보자. 그림 (가)는 […]

금융 수학 (9) 옵션의 행사확률 공식 유도 이전 포스트의 기하 브라운 운동으로 만든 주가 모형을 이용하면, 만기 시 옵션이 행사될 확률을 계산해 볼 수 있다. 계산 결과는 흥미롭게도 블랙-숄즈 공식의 N[d2] 와 일치한다. 사실, 이 계산을 통해 N[d2]가 옵션의 행사 확률이라는 것을 알 수 있는 것이다. 여기서는 행사 확률을 구하는 공식을 유도해 보고, 몬테카를로 시뮬레이션으로 공식이 잘 […]

금융 수학 (8) 코스피지수의 몬테카를로 시뮬레이션 (엑셀 계산) [update 2016.11.24] 아래 수식은 주가모형의 시뮬레이션과 ELS 상품의 이해 (3) 에 동영상으로 설명되어 있습니다. 이전 포스트에서 기하 브라운 운동으로 만든 주가 모형을 이용하면, 미래 주가에 대한 시뮬레이션을 해볼 수 있다. 주가 모형에 대한 확률분포를 이용하여 몬테카를로 시뮬레이션이라는 기법을 적용해 보면 아래 그림과 같이 시뮬레이션을 해볼 수 있다. 아래 그림은 2012년 […]

금융 수학 (7) 랜덤 워크 와 브라운 운동 (Random Walk and Brownian Motion) 주가의 흐름은 랜덤 워크 (Random Walk) 가설을 따른다고 한다. 랜덤 워크는 술 취한 사람이 비틀비틀 걸어가는 모습으로 묘사되기도 하는데, 앞으로의 방향을 예측할 수 없는 움직임을 말한다. 금융 이론을 전개하려면 주가의 모형을 설정해야 하는데, 랜덤 워크의 성질을 이용하여 모형화하면 주가의 실제 상황을 그런대로 […]

금융 수학 (6) 블랙 숄즈 공식의 활용 – 엑셀 연습 이전 4 편의 포스트를 통해 유도한 블랙 숄즈의 옵션가격결정 공식을 활용하는 방법에 대해 알아보자. 엑셀을 통해 금일 (2012년 3월 20일) 콜옵션의 이론가를 직접 계산해 본다. 아래 그림의 좌측 화면은 HTS에서 보여주는 행사가격 280에 대한 콜옵션의 기본 정보이다. 기초자산인 KOSPI200의 금일 현재가는 269.68이고, 만기까지의 잔존 기간은 […]

금융 수학 (5) 블랙 숄즈 옵션 공식 유도 (4) -편미분 방정식 풀기 (PDE 3/3)이전 포스트에서 구한 열 확산 방정식의 해인 아래 1) 식에서부터 블랙 숄즈 옵션 공식을 완성해 보자. 식 1)의 경계조건은 이전 포스트의 식 10) 으로부터 나온 것이며, y(u, x)에서 u = a 이고, 옵션 만기인 x = 0 (잔존기간=0) 일 때의 조건이다. 식 […]

금융 수학 (4) 블랙 숄즈 옵션공식 유도 (3)-편미분 방정식 풀기 (PDE 2/3) 이전 포스트에서 변수 치환을 통해 블랙 숄즈 편미분 방정식을 간단히 만들어서 아래의 식 1)과 같이 표현 하였다. 이번 시간에는 식 1)의 편미분 방정식을 풀어서 그 해인 y(u, x)를 구해 보도록 하겠다. y(u, x)만 구하면 최종 해인 f(S, t)를 구할 수 있다. 이 방정식은 […]